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Beitrag |
    
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 544
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. März, 2005 - 16:41: | 
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hallo,
Bestimme die Schar aller Kugeln mit dem Radius r = 3, deren Mittelpunkte auf der Geraden x=(0|3|-6) + s(2|-2|7)liegen.
Die Mittelpunktskoordinaten sollen auf der Geraden liegen also m1=2s, m2 =3-2s und m3=-6+7s.
hmm und wie mache ich weiter?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1220
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. März, 2005 - 18:19: |
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( x - 2s )^2 + ( y - ( 3 - 2s ) )^2 + ( z - ( -6 + 7s ) )^2 = 3^2
( x - 2s )^2 + ( y - 3 + 2s )^2 + ( z + 6 - 7s )^2 = 3^2
x^2 - 4s + 4s^2 + y^2 + 9 + 4s^2 - 6y + 4sy - 12s + z^2 + 36 + 49s^2 + 12z - 12sz - 84s = 9
x^2 + y^2 + z^2 - 6y + 12z + 4s( y - 3z ) + 57s^2 - 100s + 36 = 0
fertig.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 545
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 09:45: |
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hmm mehr muss ich da nicht angeben oder irgendwie anders?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1223
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 10:02: |
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Ne, du brauchst nur die Kugelgleichung
für den Mittelpunkt M(xM|yM|zM)
und der ist ja durch die Geradengleichung gegeben, und einzig vom Parameter s Abhng.
(x - xM)2 + (y - yM)2 + (z - zM)2 = r2
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1360
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 10:05: |
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@Mainzi
.. stimmt leider nicht ganz! Die Quadrate (das erste und das dritte) wurden falsch berechnet (Rechenfehler):
....
( x - 2s )^2 + ( y - 3 + 2s )^2 + ( z + 6 - 7s )^2 = 3^2
x^2 - 4xs + 4s^2 + y^2 + 9 + 4s^2 - 6y + 4sy - 12s + z^2 + 36 + 49s^2 + 12z - 14sz - 84s = 9
usw. .....
@detlef
Der Parameter s der Geradengleichung ist dann gleichzeitig der Scharparameter für die Kugelschar, es bleibt tatsächlich so.
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1224
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 10:49: |
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Jetzt wo Du es sagst, seh ich des auch 
ich würds einfach so
( x - 2s )^2 + ( y - 3 + 2s )^2 + ( z + 6 - 7s )^2 = 9
mit Klammern stehen lassen - sieht man leichter, daß es sich um eine Kugel handelt, und Rechenfehler (fast) ausgeschlossen 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 546
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 15:27: |
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ok dann ist alles kalr! danke
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4944
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 08:57: |
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Hi Mainzi
Das ist eine gute Idee; ich werde sie auch beherzigen.
Man kann sogar bei der anspruchsvollen Aufgabe, die ich jetzt präsentieren werde, bei dieser Form bleiben.
Da die von Detlef gestellte Aufgabe zur allgemeinen Befriedigung und Überraschung gelöst ist, kaum war sie notiert, soll sie durch eine Zusatzaufgabe ergänzt und
abgerundet werden.
Diese lautet in Teilen so:
I.
Man ermittle die Gleichung der durch die einparametrige
Kugelschar aus der Detlef-Aufgabe bestimmten Hüllfläche.
II
Man leite die Gleichung der Rotationszylinderfläche mit dem Radius r =3 und der Geraden g mit x=(0|3|-6) + s(2|-2|7)
als Achse her.
Lösung der ersten Teilaufgabe (mit Unimath.)
Gleichung der Kugelschar mit s als Parameter nach Mainzi:
F(x,y,z,s) =
( x - 2s )^2 + ( y - 3 + 2s )^2 + ( z + 6 - 7s )^2 – 9 = 0.
Um die Hüllfläche zu bekommen, leiten wir zunächst F partiell nach s ab.
Das gibt:
G(x,y,z,s)=
- 4 ( x - 2s ) + 4 ( y - 3 + 2s ) - 14 ( z + 6 – 7s) = 0
Aus diesen beiden Gleichungen muss s eliminiert werden.
Zu diesem Zweck lösen wir die zweite Gleichung nach s auf und setzen den Term für s in de erste ein.
Es entsteht zunächst:
s = (2 x – 2 y + 7z + 48) / 57; nach vorsichtigen und rigorosen Umformungen entsteht als Gleichung für die gesuchte
Hüllfläche:
53 x^2 + 53 y^2 + 8 z^2 + 8 x y + 28 y z – 28 z x - 192 x - 150 y + 12 z - 252 = 0
Ohne Rechenkünste kommt man also doch nicht aus; man lasse sich von Miss Marple helfen!
Dass es sich bei dieser Quadrik um einen Rotationszylinder handelt, ist einzusehen; aber dies ist wieder eine andere Geschichte.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4945
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 10:03: |
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Hi allerseits
Teilaufgabe II
Man leite die Gleichung der Rotationszylinderfläche mit dem Radius r =3 und der Geraden g mit x=(0|3|-6) + s(2|-2|7)
als Achse her.
Diese Aufgabe kann auch von Absolventen von Leistungskursen
bequem gelöst werden.
Hier folgt eine Kurzform
Bezeichnungen
v : ein Richtungsvektor von g:
v = {2;-2;7}
G ein Aufpunkt von g:
G (0/3/-6)
P(x/y/z) : laufender Punkt der Zylinderfläche
p: Verbindungsvektor GP
p = {x;y-3;z+6$
Bedingung für P:
P hat von g den Abstand r = 3
Dies wird realisiert durch die Vektorgleichung
Absolutbetrag des Vektorprodukts (p x v)=3 *Absolutbetrag (v)
Wir erhalten der Reihe nach:
Vektorprodukt p x v =
{7y + 2z - 9 ; 2z – 7x + 12 ; - 2x – 2y + 6}
abs(pxv) =
sqrt(53*y^2+28*y*z-150*y+8*z^2+12*z+261-28*z*x+53*x^2-192*x+8*x*y)
abs(v) = sqrt(57)
Setzt man dies in die Bedingungsgleichung ein, quadriert und ordnet, so erhält man die in meinem letzten Beitrag hergeleitete Flächengleichung:
53 x^2 + 53 y^2 + 8 z^2 + 8 x y + 28 y z – 28 z x - 192 x - 150 y + 12 z - 252 = 0
Damit ist das Nötigste gesagt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
