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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4933 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 15:41: |
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Hi allerseits Zum Ausklang der Osterfeiertage soll noch eine kleine Parforceleistung in Geometrie vollbracht werden. Die Aufgabe lautet: Man weise nach, dass zwei anstossende Begrenzungsflächen beim regulären Ikosaeder den Winkel phi bilden, für den die Beziehung cos (phi) = - sqrt (5) / 3. gilt. Andere Formulierung: es gilt: sin (phi) = sqrt (2/3) , phi >90°. Ist jemand schon im Besitz einer einigermassen verständlichen Herleitung? Für Mitteilungen darüber wäre ich sehr dankbar. Die von mir benützte Methode macht Gebrauch von einem Würfel, der dem Ikosaeder so eingebaut ist, dass der Zugriff auf die Ikosaederdaten besser gelingt. Das geht so. Das Gebilde wird in ein festes Koordinatensystem eingebaut. Würfelecken: A(u/-u/0),B(u/u/0),C(-u/u/0),D(-u/-u/0). E(u/-u/u),F(u/u/u),G(-u/u/u),H(-u/-u/u). Vorschlag: wähle z.B. u = 10. Im Folgenden sollen zwei anstossende Begrenzungsflächen P1 P2 P3 und P1 P2 P4 des mit dem Würfel liierten Ikosaeders fixiert werden. Die Punkte P1, P2, P3, P4 erhalten die folgenden Koordinaten: P1(u/0/u*t), P2(-u/0/u*t), P3(0/u*t/u), P4(0/-u*t/u). Dabei ist t der aus der Teilung nach dem goldenen Schnitt bekannte Term t = ½ (1+sqrt(5)) Die Punkte P1, P2 liegen in einer zu den Seitenflächen BCFG und ADEH parallelen Symmetrieebene, in welcher zwei weitere, noch nicht genannte Ecken des Ikosaeders liegen. Die Punkte P3, P4 liegen in einer zu den Seitenflächen ABFE und DCGH parallelen Symmetrieebene, in welcher ebenfalls zwei weitere, noch nicht genannte Ecken des Ikosaeders liegen. Die restlichen 4 Ecken (im Ganzen sind es 12 Ecken) liegen in der dritten Symmetrieebene des Würfels, welche parallel zu den Seitenflächen ABCD und EFGH liegt. Die Anordnung dieser 6 Paare ist analog zu denen des ersten Paares P1,P2. Es gelingt, mit Hilfe der Vektorrechnung, den gesuchten Winkel phi zu berechnen. Zusatzaufgabe : Man weise rechnerisch nach, dass das Dreieck P1 P2 P3 gleichseitig ist. Viel Vergnügen bei den Berechnungen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4934 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 16:15: |
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Hi allerseits Eine kleine Rechenhilfe, dienlich bei der Lösung der vorstehenden Winkelaufgabe. Neben dem Term t = ½ (1+sqrt(5)) aus der Theorie und Praxis des goldenen Schnitts benütze man den Partnerterm r = ½ (sqrt(5) - 1) und beachte die folgenden nützlichen Relationen: 2*t – 1 = sqrt(5) 2*r + 1 = sqrt(5) r = t – 1 r * t = 1 t^2 = t + 1 r^2 = 1 - r t^2 + r^2 = 3 2 t^2 – 2 t + 1 = 3 usw. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1216 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 16:17: |
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Hi Megamath, Du bringst mich in Verlegenheit; cos(phi) = -sqrt(5)/3 sin(phi) = sqrt(2/3) phi ist da beide male gleich groß? cos^2(phi) + sin^2(phi) = 5/9 + 2/3 = 5/9 + 6/9 = 11/9 > 1 lass einfach die Wurzel weg: sin(phi) = 2/3, dann passts In der Schule hatten wir mal einen regelmäßigen Ikosaeder konstruiert, und das ging über einen regelmäßigen Pentagon-Dodekaeder - die Ecken des Pentagon-Dodekaeders waren glzt. die Schwerpunkte der 3ecksflächen des Ikosaeders und auch die Berührpunkte der einschreibenden Kugel; Hilft das weiter? Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4935 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 16:29: |
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Hi Walter Du bringst MICH in V.! Du hast natürlich Recht. Das richtige Resultat war mir zu einfach! Besten Dank! MfG H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2738 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 17:52: |
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Hallo Megamath, die Rechnung im Detail will ich nicht durchführen, aber ich komme da ohne einen Würfel aus: der Winkel ist der zwischen den Schenkeln eines gleichsche.3ecks, SchenkelLänge = Höhe eines gleichseit.3ecks mit Seite s Basis = Diagonale eines regulären 5ecks mit Seite s . @Mainzi: das muß ja eine enorm verwirrende Zeichnung gewesen sein, der Dodekaeder ist ja schon aufwendig genug. Da finde ich den umgekehrten Wege bequemer. Wenn der "Draufblick" des Ikos. ein reg.Pentg. zeigt, mit Mittenstrahlen, kommt ein 2tes solches konzentrisches, um 36° gedrehtes hinzu und ein paar Vebindungslinien ( also einfach 10ecksPunkte richtig verbinden ). Zu einem Dodek.bild käme man dann durch Verbindungen von Kantenmitten. Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4936 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 19:27: |
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Hi Friedrich Nach meinen Erfahrungen ist es sehr nützlich, den Studierenden im Fache Geometrie, bei der Behandlung stereometrischer Probleme, Gerüste als Hilfsmittel anzubieten. Du hast das kürzlich selbst erlebt, als es um eine bestimmte Tetraedraufgabe ging. Das Stichwort „Tetraeder im Würfel“ hilft über verschiedene Schwierigkeiten hinweg, zum Beispiel bei der Berechnung des Radius der Kantenkugel beim regulären Tetraeder und so weiter und so fort. Analog ziehe ich beim regulären Ikosaeder stets den innen oder aussen liegenden zugeordneten Würfel zu Hilfe. Das sind für mich unverzichtbare Hilfsmittel bei der Darstellung dieser Körper in allen möglichen und unmöglichen Lagen und bei der Konstruktion dieser Körper mit darstellend geometrischen Methoden. Der Zweck meines Beitrag: Hinweis auf dieses Hilfsmittel. Ausserdem lege ich Wert darauf, dass die Bildung eines Vektorprodukts rechnerisch auch in komplizierteren Fällen beherrscht wird. Davon gibt es auf die Dauer keinen Dispens! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4937 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. März, 2005 - 08:54: |
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Hi allerseits Es folgt die rechnerische Ausführung anhand des beschriebenen Würfels. Die Bezeichnungen sind dieselben wie im ersten Beitrag; es soll u = 1 gewählt werden. Vektor a = P1 P2 = {-2;0;0} Vektor b = P1 P3 = {-1;t;1-t} Vektor c = P1 P4 = {-1;-t;1-t} Vektorprodukte: p = a X b = {0;2-2t; - 2t} q = a X c = {0;2-2t; 2t} damit erhalten wir als Quotient Skalarprodukt / Produkt der Beträge: cos(phi) =[p . q ] / [abs(p) * abs(q) ] = [(2 - 2 t)^2 – 4 t^2] / [(2-2t)^2+4 t^2)] = (1 - 2 t) / (1 - 2t +2 t^2). Nach den Vorbereitungen bezüglich des Rechnens mit dem Term t = ½ (1+sqrt(5)) erhalten: cos(phi) = - sqrt(5) / 3 , q.e.d. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4938 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. März, 2005 - 09:05: |
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Hi allerseits Einen guten Kontakt zum Ikosaeder gewinnt man hier: http://www.mathematische-basteleien.de/ikosaeder.htm Beim Studium dieser Seiten stößt man auch auf eine andere Berechnungsmethode des Neigungswinkels zweier benachbarter Seitenflächen, ohne Würfel! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4939 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. März, 2005 - 11:21: |
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Hi allerseits Ich löse noch die Zusatzaufgabe. Wiederum soll u = 1 gesetzt werden Quadrat a^2 des Vektors P1 P2 : a^2 = 4 also abs(a) = 2 Quadrat b^2 des Vektors P2 P3 : b^2 = 1 + t^2 + (t-1)^2 = 1 + t^2 + r^2 = 1 + 4 = 4 also abs(b) = 2 Quadrat c^2 des Vektors P3 P1 : c^2 = 1 + t^2 + (t-1)^2 = 1 + t^2 + r^2 = 1 + 4 = 4 also abs(c) = 2 Das Dreieck P1 P2 P3 ist gleichseitig, wie es bei einem Begrenzungspolygon eines regulären Polyeders sein muss. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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