    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4915
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 20:48: | 
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Hi Corvus
Die folgenden Ausführungen sind dem Archiv entnommen
und stammen aus einem meiner Beiträge aus der
Frühzeit; sie sollen jetzt einfach kopiert werden.
Der Exkurs enthält Antworten auf die Frage
"was ich schon immer über den allgemeinen Tetraeder
wissen wollte".
Nun zum Thema
I.] Der Schwerpunkt im allgemeinen Tetraeder
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Gegeben sei Ein Tetraeder ABCD , das nicht regelmäßig
sei.
Die Verbindungsgeraden A S1, B S2, C S3, D S4 der
Ecken A,B,C.D mit den Schwerpunkten Si (i = 1,2,3,4)
der gegenüberliegenden Seitenflächen heißen die vier
Mittellinien des Tetraeders.
Die Mittellinien A S1 und D S4 liegen in der Ebene,
welche die Kante AD und den Mittelpunkt G der
Gegenkante BC enthält;
sie schneiden sich daher in einem Punkt S.
Aus dem Verhältnis
G S4 : GA = GS1 : GD = 1 : 3 folgt
S4 S1 ist parallel zu AD und
S4 S1 : AD = 1 :3;
daraus weiter:
S4 S : DS = = S1 S : AS = 1: 3
Die beiden Mittellinien teilen also einander gegenseitig
im Verhältnis 1 : 3.
Das ist eine bemerkenswerte Tatsache und hilfreich
in vielen Situationen!
Dies gilt auch für irgend zwei andere Mittellinien.
Wegen S1 S : AS = S2 S : BS = S3 S: CS = S4 S : DS
= 1 : 3
gehen alle vier Mittellinien durch denselben Punkt S.
Jetzt kommt das Wesentliche:
Alle Parallelschnitte des Tetraeders zur Fläche ABC sind
perspektiv ähnlich bezüglich des Aehnlichkeitspunktes D,
mithin liegen ihre Schwerpunkte auf D S4;
daher heißt D S4 auch eine Schwerlinie des Tetraeders,
auf welcher der Schwerpunkt des Körpers liegt.
Aus dem gleichen Grund sind auch die übrigen
Mittellinien Schwerlinien des Tetraeders.
Daher gelten die Sätze
L1)
Die vier Mittellinien eines Tetraeders schneiden
sich in seinem Schwerpunkt und werden durch
diesen von den Ecken aus im Verhältnis 3 : 1
geteilt.
L2)
Die sechs Verbindungsebenen der Kanten eines
Tetraeders mit den Mittelpunkten der Gegenkanten
gehen durch den Schwerpunkt des Tetraeders.
Die in 2) genannten Ebenen werden als
Schwerebenen des Tetraeders bezeichnet.
Verbindet man die Mittelpunkte zweier
Gegenkantenpaare AB,CD und BC,AD,
so entsteht ein Parallelogramm EGFH;
seine Seiten sind paarweise zu den übrigen Kanten
AC und BD parallel und halb so lang wie diese.
Im ganzen gibt es drei solche Parallelogramme
EGFH, EJFK, GJHK , die sich paarweise in einer der drei
Verbindungsstrecken EF,GH und JK der
Gegenkantenmitten schneiden
und deren gemeinsamer Mittelpunkt die gemeinsame
Mitte dieser drei Strecken ist.
SIC!
Man kann zeigen (wie könnte es anders sein?) ,
dass dieser Punkt S mit dem Schwerpunkt des
Tetraeders zusammenfällt.
Im Schnittdreieck CDE, wo F Mittelpunkt von CD und
S Mittelpunkt von EF ist, wird CF durch M halbiert.
Da MS parallel zu CE und gleich lang wie ½ CE ist, folgt:
CM :DM = 1 :3 = NS : DS, wo N den Schnittpunkt
von CE und DS bedeutet.
Weiter: MS : CN = MD : CD = 3 : 4 , also
CE : CN = 3 : 2 ,
d.h. N ist der Schwerpunkt S4 von ABC und S der
Schwerpunkt des Tetraeders
Wir haben den Satz gewonnen:
L3)
Die drei Verbindungsstrecken der Gegenkantenmitten
eines Tetraeders gehen durch seinen Schwerpunkt
und werden durch diesen halbiert.
Soviel oder so wenig zum Schwerpunkt
Sollte Interesse vorhanden sein, erzähle ich noch etwas
über die Umkugel, die Inkugel und die Höhen eines
allgemeinen Tetraeders.
Bis dann
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
