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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4899
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. März, 2005 - 08:31: | 
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Hi allerseits
Sehr instruktiv ist die folgende Aufgabe;
man finde verschiedene Lösungsmethoden!
Man berechne beim Quader ABCD EFGH den Abstand
der Ecke C von der Ebene BGD.
Die Kantenlängen a ,b ,c des Quaders sind gegeben.
a =AB = 6 cm, b = BC = 8 cm , c = CG = 17 cm.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 16:10: |
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Hallo Megamath,
zwei Lösungen fallen mir so auf Anhieb ein.
1. Pythagoras
Ich betrachte zunächst die Grundfläche ABCD, genauer gesagt das rechtwinklige Dreieck BCD. Die zwei Katheten sind die gegebenen Seiten 6cm und 8cm, macht nach Pythagoras eine Hypothenuse von 10cm. Ich suche den kürzesten Abstand von C zur Hypothenuse, d.h. den senkrechten, also die Höhe.
Im rechtwinkl. Dreieck gelten die Flächenformeln
A = a*b/2 und A = c*hc/2
Daraus folgt: h = a*b/c = 4,8cm. Den Fußpunkt auf der Hypothenuse nenne ich F.
Nun betrachte ich das rechtwinklige Dreieck CFG (senkrecht zu dem ersten) und verfahre in gleicher Weise. Die eben berechnete Höhe ist jetzt eine Kathete, die Hypothenuse beträgt Wu(172 + 4,82) = 17,664...
Damit ist der Abstand von C zur Ebene (wieder die Höhe des rw. Dreiecks) 17*4,8/17,664... = 4,619...
2. Hesse'sche Normalform (analytische Geometrie)
Ich definiere ein Koordinatensystem mit C als Nullpunkt, D in x-Richtung, B in y-Richtung und G in z-Richtung. Eine mögliche Ebenengleichung ist dann
(x/y/z) = (0/8/0) + l(-6/8/0) + m(0/8/-17)
oder als Gleichungssystem:
x = -6l
y = 8 + 8l + 8m
z = -17m
Löst man das Gleichungssystem nach x, y und z auf, erhält man
68x + 51y + 24z = 408
oder normiert (Hesse'sche Normalform):
1/Wu(7801) * (68x+51y+24z) = 4,619... ,
wobei dieser letzte Wert der Abstand der Ebene vom Nullpunkt, also von C ist.
Gruß Dörrby |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4916
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 18:27: |
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Hi Dörrby
Bravo
Deine Lösungen sind beide sehr gut; sie entsprechen meinen Intentionen.
Welche der beiden Lösungen im Unterricht verwendet werden soll, hängt davon ab, welche Mittel der Klasse zur Verfügung
stehen.
Ist alles Nötige da, dann ist die Wahl des Lösungswegs meistens Geschmacksache.
Ich werde auf die möglichen Lösungsmethoden zurückkommen.
PS:
Lass Dich registrieren und mache im Forum ZR fleißig mit,
R wie regelmäßig!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 18:46: |
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Tja, mit der Regelmäßigkeit hab ich's nicht so, deswegen bleib ich lieber Gast.
Gruß Dörrby |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4917
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 19:17: |
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Hi Dörrby
Einverstanden, das ist auch gut!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4918
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 19:54: |
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Hi Dörrby
Ich zeige die Methode, an die ich zu allererst gedacht habe.
Im Effekt läuft sie auf Deine erste Lösung hinaus.
Wir berechnen das Volumen der Pyramide mit den Ecken GBCD
auf zwei Arten:
(1) Volumen V1:
Wir fassen das Dreieck BCD als Grundfläche auf, Inhalt 24;
Spitze G,
Höhe 17;daraus
V1 = 1/3 24*17 = 136
(2) Volumen V2:
Wir fassen das Dreieck BDG als Grundfläche auf,
Inhalt ½ * 10 * sqrt(4,8^2 + 17^2) = 5 * sqrt(312,04)
Spitze C,
Höhe: der gesuchte Abstand d;
V2 = 1/3 * 5 * sqrt(312,04) * d
Nun berechnen wir d aus der Gleichung
V1 = V2.
Resultat (wie bekannt): d ~ 4,62
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4919
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 20:15: |
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Hi Dörrby
Ich zeige Dir noch meine Version mit der
Hesseschen Normalenform:
Wir wählen ein Koordinatensystem folgendermassen:
Nullpunkt in D,
x- Achse auf der Geraden DA (diese Richtung)
y- Achse auf der Geraden DC (diese Richtung)
z- Achse auf der Geraden DH (diese Richtung)
Der Punkt C erhält die Koordinaten
xC = 0 ; yC = 6 ; zD = 0.
Eine Koordinatengleichung der Ebene E,
welche durch die Punkte BGD aufgespannt wird, lautet:
51 x – 68 y + 24 z = 0,
wie man leicht nachrechnet (Grundaufgabe!).
Wir benötigen die Hessesche Normalenform (HNF)
der Ebenengleichung; diese lautet:
(51 x – 68 y + 24 z) / wurzel (51^2+68^2+24^2) = 0
oder
(51 x – 68 y + 24 z) / wurzel (7801) = 0,
Setzt man für x, y, z die Koordinaten des Punktes C ein,
so stellt die ganze linke Seite der HNF den gesuchten
Abstand d dar.
Wir berechnen:
d = 408 / wurzel (7801) ~ 4,62
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4920
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. März, 2005 - 07:03: |
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Hi Dörrby
Zum Abschluss soll eine weitere Lösungsmethode
gezeigt werden.
Die Aufgabe lässt sich auch durch stereometrische
Überlegungen, die sich den Ideen der
Darstellenden Geometrie bedienen, lösen.
Das geht so:
Wir bezeichnen die (x,y) - Ebene als Grundrissebene PI.
Dann sind die Punkte A,B,C,D beziehungsweise zugleich die Projektionen E´, F´, G´, H’ der Ecken E,F,G,H.
Die Schnittgerade der Eben E mit PI heißt erste Spur
der Ebene E und werde mit e1 bezeichnet;
e1 fällt mit der Geraden BD zusammen.
Durch den Punkt C, dessen Abstand d von E wir ermitteln wollen, legen wir die Normalebene zu e1.
N steht dann auch senkrecht zu PI und schneidet die gegebene
Ebene in einer so genannten (ersten) Fallgeraden f1 der Ebene E
durch G.
Die Schnittgerade s der Ebenen N und Pi ist die erste Projektion
f1´ von f1.
Die Geraden f1´ und e1´ schneiden sich im Punkt J ; durch J
geht auch die Fallgerade f1 selbst.
NB.
der Winkel der Geraden f1 und f1´ ist gerade
der Neigungswinkel der Ebene E bezüglich PI.
In der Ebene N fällen wir im Sinn der Planimetrie das Lot l
von C aus auf die Gerade f , der Lotfußpunkt auf f sei K.
Der gesuchte Abstand d zeigt sich als Länge der Strecke CK.
Wir können nun diese Länge sowohl konstruieren
(darstellend geometrische Lösung) als auch berechnen.
Im vorliegenden Fall soll d berechnet werden.
Wir drehen die Ebene N um ihre Spur s = f1´ um 90°,
bis sie mit PI zusammenfällt.
Dieses Verfahren nennt man Umlegung der projizierenden Ebene
von f1 in die Grundrissebene.
Die Umlegung f° von f geht durch die Umlegung G° des Punktes G.
Das Dreieck G°G´J ist bei G´ = C rechtwinklig.
Es gilt G´G° = 17
Die Seite CJ sei u: der gesuchte Abstand d ist die Höhe zur Hypotenuse G°J im Dreieck G°G´J.
Wir berechnen u im Dreieck BCD:
aus 10 u = 6 * 8 folgt u = 4,8 (wie bei der ersten Methode).
Im Dreieck G°G´J seit JG° = v; dann ist:
17 u = d * v , mit v = sqrt (u^2 + 17^2) (wie früher)
Daraus berechnen wir:
d = 17 u / v = 17 * 4,8 / sqrt(13,04 + 289) =
81,6 / sqrt(312,04) ~ 4,62.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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