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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 533
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 11:36: | 
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hallo, folgende aufgabe:
gegeben ist die kugel k um M(7/-3/4) mit dem radius 7.
zeige, dass der punkt P(1/2/1) außerhalb der Kugel k liegt und bestimme den mittelpunkt und den radius des kreises, in welchem die kugeltangenten durch P die kugel berühren!
also das problem ist, dass ich den zweiten teil der aufgabe gar nicht verstehe!wie bilden die tangenten einen kreis??
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2729
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 11:48: |
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Stell dir einen Kreis mit einer eingezeichneten
Tangente vor, und nun laß das um eine Achse die
durch den Kreismittelpunkt geht und die Tangente
schneidet rotieren.
Was entsteht, und was für eine Kurve beschreibt
der Berührungspunkt der Tangente?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 534
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 11:56: |
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ich weiss nicht,ob ich das verstanden habe! die tangenten müssen ja auch durch P gehen, also tangente an der kugel sein und durch P ??
kann man dazu ne skizze machen?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2730
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 12:15: |
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P ist der Schnittpunkt der Drehachse mit der Tangente.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 535
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 12:34: |
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also um P zu berechnet, müsste ich die gleichungen von zwei tangenten gleichsetzen?
das heißt doch, dass der Punkt P außerhalb von der Kugel liegt, also etwas außerhalb!
also muss ich für den radius den abstand von P zu M bestimmen?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2731
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 12:53: |
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ja;
die Tangente(nlänge, von P bis zur Kugel),
der Kugelradius, und die
Strecke PM
bilden ein re.wi.3eck, Hypothenuse PM.
Die Höhe dieses 3ecks über der PM ist der gesuchte Radius des Kreises auf der Kugel.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 536
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 12:37: |
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also nochmal, irgendwas stimmt bei meinen vorstellungen noch nicht! also der punkt P und der gesuchte kreis liegen nicht in der kugelebene! P liegt außerhalb , aber wieso entsteht ein neuer mittelpunkt, also ich kann das noch nicht verstehen!
die tangenten an den kreis sollen durch P gehen und die kugel tangieren! und wenn man ganz dicht die tangenten setzt bilden die doch einen kreis auf der kugeloberfläche und schneiden sich doch gar nicht, wo ist der denkfehler?
detlef
(Beitrag nachträglich am 18., März. 2005 von detlef01 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1350
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 13:17: |
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Hi,
was verstehst du unter "Kugelebene"?
Alle Tangenten, die von dem ausserhalb der Kugel (K; Mittelpunkt M, Radius R) liegenden Punkt P an die Kugel gelegt werden können, berühren diese längs eines Kreises k (Mittelpunkt M_1, Radius r) (alle Berührungspunkte (T) liegen auf diesem Kreis). Dessen Ebene nennt man Polarebene, sie steht senkrecht auf der Verbindungsgeraden PM.
Der Abstand des M von der Ebene sei d, er beträgt für dieses Beispiel (7/10)*sqrt(70). d berechnest du beispielsweise mittels HNF (Hesse).
Nun ist für jeden Berührungspunkt (T) MT = R bzw. M_1T = r und es bilden d, r und R ein rechtwinkeliges Dreieck.
Es gilt somit: R^2 = r^2 + d^2. Mit R = 7 folgt daher für r = (7/10)*sqrt(30).
Den Mittelpunkt M_1 des Kreises k kannst du bestimmen, indem du die Gerade PM mit der Polarebene schneidest.
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 537
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 13:51: |
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ach ich glaube mein denkfehler war, dass ich dachte der punkt p in der mitte liegt und die punkte alle genau oberhalb bzw unterhalb der kugel verlaufen, also so als ob sie paralleln wären!
also kann man doch schon mal sagen, dass der radius von der kugel größer ist, als der des kreises oder?
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 14:20: |
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Alle Kreise auf der Kugel, deren Ebenen NICHT durch den Mittelpunkt der Kugel gehen, haben einen kleineren Radius als den Kugelradius!
Kreise, deren Ebenen den Mittelpunkt der Kugel enthalten, haben den gleichen Radius wie der Kugelradius, man nennt sie Großkreise.
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 15:41: |
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axo ok, jetzt wird mir die sache langsam klarer, danke schon mal!
werde mir das jetzt nochmal alles durchlesen und dann weiterrechnen!
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 539
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 17:59: |
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hi,
wie kommst du auf d?
Der Abstand des M von der Ebene sei d, er beträgt für dieses Beispiel (7/10)*sqrt(70). d berechnest du beispielsweise mittels HNF (Hesse).
wie machst du hier HNF?
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 22:14: |
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Die Gleichung der Ebene wird mittels der Spaltform der Kugelgleichung ermittelt:
Man setzt die Koordinaten des Pols P(1;2;1) an Stelle von x1, y1, z1 in
(x1 - 7)*(x - 7) + (y1 + 3)*(y + 3) + (z1 - 4)*(z - 4) = 49
ein und bekommt
-6*(x - 7) + 5*(y + 3) - 3*(z - 4) = 49
-6x + 5y - 3z + 20 = 0 | : sqrt(36 + 25 + 9)
(-6x + 5y - 3z + 20)/sqrt(70) = 0 « DAS ist die HNF
dort den Mittelpunkt M(7;-3;4) der Kugel einsetzen »» d (Abstand M von Ebene)
|(-42 - 15 - 12 + 20)/sqrt(70)| = d
d = 49/sqrt(70) = 49*sqrt(70)/70 = (7/10)*sqrt(70)
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 22., März. 2005 von mythos2002 editiert) |
Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 540
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 22:17: |
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also diese spaltformel ist mir noch unerklärlcih! wie kommt die zustande?
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1357
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 14:09: |
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Eigentlich brauchst du dir die Spaltformel nur zu merken und sollst wissen, dass sie bei Tangentenberechnungen anzuwenden ist. Für die Tangente (in R2) leite ich das mal her, die Polare ist der allgemeinere Fall. Wenn der Pol AUF dem Kreis (der Kugel) liegt, wird die die Polare als Sonderfall zur Tangente (die Polarebene zur Tangentialebene)
Ich zeige das zunächst in R2 an Hand der Tangenten an einen Kreis k. In R3 ist die Vektorgleichung des Kreises identisch mit jener der Kugel, an die Stelle der Tangente tritt die Tangentialebene und an die Stelle der Polaren die Polarebene.
Bei den Tangenten gibt es zwei Ausgangssituationen:
1.
Tangente IN einem Punkt des Kreises
2.
Tangenten VON einem Punkt AN den Kreis.
Unter der Tangentengleichung wird im Allgemeinen die Gleichung der Tangente t IN einem Punkt T der Kurve verstanden (man sieht dann später, dass diese identisch mit der Polarengleichung der Polaren des Pols P bezüglich des Kreises k ist, wenn statt des Berührungspunktes T der Pol P eingesetzt wird).
Sei dieser Punkt T(x1|y1), der auf dem Kreis k:
[X - M]² = r² liegt; (M(m|n). Weil T auf k liegt, ist (T - M)² = r²
Die Tangente steht normal auf den Berührungsradius MT. Daher muss das Skalarprodukt von MT mit dem Richtungsvektor TX der Tangente 0 werden (X laufender Punkt auf der Tangente, alle Großbuchstaben bezeichnen
Vektoren):
(T - M).(X - T) = 0
X.(T - M) = T.(T - M)
=====================
oder (Umformung):
X.(T - M) = T.(T - M) | -M.(T - M)
(X - M).(T - M) = (T - M)²
-->
(T - M).(X - M) = r²
=====================
letztere Formel wird auch als Spaltformel oder Polarenform bezeichnet. Die Tangente ist wie gesagt der Sonderfall einer Polaren, wenn der Pol auf der Kurve liegt.
Für die Polarengleichung von P(x1;y1) bezüglich k ist dann lediglich statt T P zu setzen.
Die Vektorgleichung der Polaren
(P - M).(X - M) = r²
wird noch in Koordinatengleichung übergeführt
P(x1;y1;z1), M(m1;m2;m3):
(x1 - m1)*(x - m1) + (y1 - m2)*(y - m2) = r²
In R3 (für die Tangential- bzw. Polarebene) sieht die Vektorform gleich aus
(T - M).(X - M) = r² .. Tangentialebene
====================
(P - M).(X - M) = r² .. Polarebene
====================
(x1 - m1)*(x - m1) + (y1 - m2)*(y - m2) + (z1 - m3)*(z - m3) = r²
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 541
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 14:24: |
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dieser punkt ist skalarprodukt?
vielen dank
detlef |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 18:42: |
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Hallo Detlef,
ich versuche mal eine einfachere Lösung, auch wenn diese nur am Rande mit analytischer Geometrie zu tun hat.
1. Vorstellung
Das Ganze kann man sich etwa vorstellen, wie ein Ball mit einem Chinesenhut. Der Ball ist die Kugel, die Spitze des Hutes ist der Punkt P und alle von der Hutspitze ausgehenden und auf dem Rand verlaufenden Geraden sind die Tangenten. Der Hut berührt den Ball auf einer Kreislinie und von diesem Kreis sind Radius und Mittelpunkt gesucht.
2. Berechnung
a) Der Abstand vom Kugelmittelpunkt zum Punkt P berechnet sich über Pythagoras:
d2 = (1 - 7)2 + (2 - (-3))2 + (1 - 4)2 = 36 + 25 + 9 = 70
-> d = Wu(70) = 8,3666...
Da der Abstand größer ist als 7 (Kugelradius), liegt P außerhalb der Kugel.
b) Gedanklich schneide ich das Gebilde in einer Ebene durch P und M auf. So erhält man ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse PM und einer Tangenten und dem dazu senkrecht stehenden Kugelradius als Katheten (Zeichne!). Die Höhe hc dieses rw. Dreiecks ist der gesuchte Kreisradius.
Das Tangentenstück hat die Länge Wu(70-49) = Wu(21) = 4,58... (Berechnung über Pythagoras).
Durch Gleichsetzen der beiden Flächenformeln für ein rechtwinkliges Dreieck (Hyp.: c)
a*b/2 = c*hc/2 ergibt sich
hc = a*b/c
In unserem Fall also
r = Wu(49) * Wu(21) / Wu(70) = 7 * Wu(0,3) = 3,834
Über die Formel b2=q*c berechne ich den Abstand des Höhenfußpunktes von M in Richtung P. Es ist hier:
72 = q * Wu(70)
-> q = Wu(34,3)
Jetzt starte ich bei M und gehe den berechneten Anteil der Strecke PM ( Wu(34,3)/Wu(70) = 0,7 ) in Richtung P:
(7/-3/4) + 0,7 * ( 1-7 / 2-(-3) / 1-4 ) = (2,8/0,5/1,9)
und erhalte den Kreismittelpunkt.
Gruß Dörrby |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1358
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. März, 2005 - 20:28: |
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@detlef
Bitte versuche dich besser auszudrücken, sonst müsste ich annehmen, dass du nichts verstanden hast! Ein Punkt kann doch kein Skalarprodukt sein!
Vielleicht meinst du (hoffentlich) jedoch die Vektorgleichung
(P - M).(X - M) = r² .. Polarebene
====================
und da würdest du richtig liegen.
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 542
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 20:00: |
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hmm
was heißt dieser punkt zwischen (p-m) und (x-m), irgendwas hakt da bei mir! sorry!
detlef |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
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Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 11:02: |
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dieser Punkt soll zeigen, dass es ein Skalarprodukt ist...
mfG
Tux
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 543
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 12:59: |
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ja gut, dass meinte ich ja auch schon!dann ist alles klar! danke
detlef |
anniiiii
Unregistrierter Gast
Autor: 95.222.38.51
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2013 - 17:41: |
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Wie ist der Radius des Kreises k mit dem Mittelpunkt M zu wählen, damit die Gerade g eine Sekante, eine Tangente oder eine Passante des Kreises ist ?
a) M (5/-1) g:x= (0 über 9) + t(3 über 4)
Ich weiß zwar, dass bei zwei Lösungen g eine Sekante des Kreies ist und bei einer Lösung eine Tangente, aber ich weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll. Habe schon versucht die normale Kreisgleichung aufzustellen, aber auch damit komme ich nicht weiter =(
es muss r>10: sekante rauskommen, aber wie kommt man da drauf ?
Kann mir jemand helfen ?
danke schon einmal ;) |
