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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4854
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 13:18: | 
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Hi allerseits
Ich bin einer Aufgabe aus der Vektorrechnung
begegnet, die im Trend liegt und mich intensiv beschäftigt.
Ich möchte möglichst viele verschiedene Methoden
kennen lernen, wie die Aufgabe gelöst werden kann
und bitte darum, hier vollständige Lösungen zu
präsentieren.
Ein Nebenzweck der Übung besteht darin, dass die
Studierenden sich noch intensiver mit der analytischen
Geometrie des Raumes beschäftigen mögen und
die Vielfalt der Möglichkeiten bei der Problemlösung kennen lernen.
Soviel zur Einleitung; die Aufgabe lautet:
Gegeben sind die Gleichungen der Ebenen E1 und W.
E1: 4 x + y + 2 z = 12
W: x + 4 y – z = 3
W ist eine Winkelhalbierungsebene der Ebenen
E1 und E2.
Gesucht wird eine Gleichung für E2.
Viel Erfolg beim Lösen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 488
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 14:02: |
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du nimmst dir 3 Punkte von E1 und spiegelst sie an W - mit den neuen Punkten machst du wieder ne Ebene - das ist E2...
Spiegeln von Punkten: Lot fällten und Länge bestimmen - 2*Länge an Punkt anhängen...
mfG
Tux
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4855
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 14:16: |
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Hi Tux
Besten Dank!
Der erste Streich ist gelungen!
Vielleicht führt ihn jemand zu Ende,
zu Vergleichszwecken mit möglichen
andern Lösungen
und zur Instruktion.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1177
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 15:17: |
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E1, E2 und W bilden ein Ebenenbüschel, damit haben sie eine gemeinsame Schnittgerade, sowie eine gemeinsame Normalebene durch (0;0;0), welche Untervektorraum von IR^3 ist, und eine Basis davon die beiden Normalvektoren von E1 und W bilden;
N: { ( 4; 1; 2 ), ( 1; 4; -1 ) }
die 3 Normalvektoren von E1, E2, und W: e1, e2, w
jetzt gilt:
( e1 * w ) / ( |e1|*|w| ) = ( e2 * w ) / ( |e2|*|w| )
6 / ( sqrt( 18 ) * sqrt( 21 ) ) = ( e2 * w ) / ( |e2|*|w| )
e2 = (4;1;2)r + (1;4;-1)s
sqrt( 2 ) / ( sqrt( 3 ) sqrt( 7 ) ) = ( ( (4;1;2)r + (1;4;-1)s ) * (1;4;-1) ) / ( sqrt( (4r+s)^2 + (r+4s)^2 + (2r-s)^2 ) * sqrt(18) )
sqrt( 36 ) / ( sqrt( 3 ) sqrt( 7 ) ) = ( 4r+s + 4r+16s -2r+s ) / sqrt( 16r^2 + 8rs + s^2 + r^2 + 8rs + 16s^2 + 4r^2 - 4rs + s^2 )
6 / ( sqrt( 3 ) sqrt( 7 ) ) = ( 6r + 18s ) / sqrt( 21r^2 + 12rs + 18s^2 )
1 / sqrt( 7 ) = ( 1r + 3s ) / sqrt( 7r^2 + 4rs + 6s^2 )
sqrt( 7r^2 + 4rs + 6s^2 ) = ( 1r + 3s ) sqrt( 7 )
wegen cos(x) = -cos(pi-x), darf r + 3s auch negativ sein
7r^2 + 4rs + 6s^2 = 7( r^2 + 6rs + 9s^2 )
4rs + 6s^2 = 42rs + 63s^2
0 = 38rs + 57s^2
2rs + 3s^2 = 0
s( 2r + 3s ) = 0
( s = 0 ) oder ( 2r + 3s = 0 )
s = 0 fällt weg, denn e1 ¹ e2
es bleibt 2r + 3s = 0
ich wähle r = 3 und s = -2
aus
e2 = (4;1;2)r + (1;4;-1)s
folgt:
e2 = 3(4;1;2) - 2(1;4;-1) = (10;-5;8)
ein gemeinsamer Punkt beider Ebenen E1 und W ist leicht zu sehen: P(3;0;0)
damit lautet E2: (10;-5;8) ( x - (3;0;0) ) = 0 bzw. E2: 10x - 5y + 8z = 30
Probe: 6 / ( sqrt(21)*sqrt(18) ) = -18 / ( sqrt(189)*sqrt(18) )
bis auf das Vorzeichen passt es, erklärt damit, daß der Normalvektor einer Ebene nicht mit einer bestimmten Orientierung (Vorzeichen) festgelegt ist;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4856
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 16:34: |
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Hi Walter
BRAVO!
Das war ein erfolgreicher zweiter Streich.
Ich habe diese Methode erwartet;
sie entspricht meinen Intentionen.
Ich komme darauf zurück,indem ich eine
Variante davon zeige.
MfG nach Linz
H.R.Moser |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1178
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 16:40: |
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Anmerkung/Nachtrag: wähle man r und s so, daß die Bedingung r + 3s >= 0 erfüllt ist, dann erhält man nicht den Supplementärwinkel, wie ich eben;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 506
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 16:56: |
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hmm ich habe mal eine frage zu einer ähnlichen aufgabe:
wenn man zwei ebenen hat und die winkelhalbierene bestimmen will, muss man da nicht irgendwelche normierungen vornehmen?
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4857
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 17:03: |
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Hi Detlef
Wenn Du mit den Normalenvektoren der Ebenen arbeitest,
wirst Du diese als Einheitsvektoren
anschreiben und damit weiterrechnen.
Das ist die Normierung,die Dir vorschwebt.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 508
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 20:39: |
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ja genau! das wars! vielen dank!
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1179
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 21:07: |
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Hi Megamath,
danke für die Blumen
mir schwebt noch eine andere Lösungsmöglichkeit vor (kann sie leider nur Beschreiben):
ich nehme die Lote auf die Schnittgeraden von beiden Ebenen: w und e1
dann denke ich, daß es eine Matrix A geben muß, sodaß gilt: e1 * A = w
und dann mach ich einfach w * A und das ergibt e2 und ich habe meine Ebene;
die Matrix A wäre sowas wie eine Dreh-/Streckmatrix; falls es sowas wirklich gibt, hier fehlt mir das Wissen komplett 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4859
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 21:36: |
|
Hi Walter
}
Du bist stets hart dran bei meinen eigenen Lösungen,
was natürlich nicht gegen uns spricht.
Ich werde morgen die Angelegenheit verfolgen; es wird hoffentlich Einiges klar werden.
Bis dann!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1180
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:15: |
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Hallo Megamath
Eine Variante hätte ich, welche in die Trigonometrie überleitet, ich gebe hier die Anleitung, es möge jemand tatsächlich nach dem Schema probieren;
man fälle die Lote von E1 und W auf die Schnittgerade, ergibt die Vektoren e1 und w
der Winkel zwischen e1 und w ist der selbe wie zwischen E1 und W und ist alpha;
hier kommt die Trigonometrie zum Einsatz
|e1| ist die Schenkenlänge meines gleichschenkeligen Dreiecks; der Winkel zwischen die beiden Schenken bestimmt sich zu gamma = pi - 2*alpha
der Vektor e2 berechnet sich jetzt wie folgt:
e2 = w/|w| * sqrt(2*|e1|^2 * (1-cos(gamma))) - e1
und damit ist die Ebene E2 bestimmt;
Anmerkung: die Basis des gleichschenkeligen Dreiecks kann man auch als die längere Diagonale von einem Rhombus interpretieren;
Weiters sei gesagt, daß diese Variante numerisch betrachtet es erfordert sich cos(pi - 2*alpha) mit Hilfe von cos(alpha) auszudrücken, ohne alpha zu bestimmen, um Ungenauigkeiten zu vermeiden;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4860
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 07:46: |
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Hi Walter
Meine eigene, favorisierte Lösung benützt gerade diesen Gedankengang, den Du in Deinem letzten Beitrag
entwickelt hast.
Ich führe die Berechnungen im Einzelnen durch.
Als Grundlage dient das durch die Ebenen
E1: 4 x + y + 2 z – 12 = 0
und
W: x + 4 y – z – 3 = 0
bestimmte Ebenenbüschel.
Diese Büschel besteht aus der Gesamtheit der Ebenen,
die durch die Schnittgerade s der Ebenen E1 und W gehen.
Die Gleichung dieses Büschels mit L als Parameter lautet:
4 x + y + 2 z – 12 + L [ x + 4 y – z – 3 ] = 0
anders geordnet:
(1 + 4 L ) x + (4 + L ) y + (2 L – 1 ) z – 3 – 12 L = 0
Diese Gestalt hat die gesuchte Ebene E2,mit einem zu bestimmenden Wert für L.
Der Einsatz der Büschelgleichung bietet den eminenten Vorteil, dass wir s nicht explizit bestimmen müssen.
Wir stellen die Bedingung auf, dass W die Winkelhalbierende
der Ebenen E1 und E2 ist.
Wir berechnen die Kosinuswerte der Winkel der involvierten Ebenen wie üblich als cos - Werte der Winkel der entsprechenden Ebenennormalen.
phi 1 sei der Winkel der Ebenen (W,E1)
phi 2 sei der Winkel der Ebenen (W,E2)
Dann gilt:
cos (phi1) = Z1/N1
mit
Z1 = Skalarprodukt der Vektoren {1;4;-1} und {4;1;2},
also:
Z1 = 6
N1 ist das Produkt der Beträge dieser Vektoren,
also:
N1 = wurzel(18)*wurzel(21)
cos (phi2) = Z2/N2
mit
Z2 = Skalarprodukt der Vektoren {1;4;-1} und
{1 + 4 L ;4 + L ; 2 L - 1},
also:
Z2 = 6 L + 18
N2 ist das Produkt der Beträge dieser Vektoren,
eine vereinfachte Form von N2 lautet:
N2 = wurzel (18) * wurzel [21 L^2 +12 L + 18]
Die Gleichsetzung Z1/N1 = Z2/N2 führt
nach dem Quadrieren auf die folgende (lineare !)
Gleichung für L:
7( L^2 + 6 L + 9) = 7 L^2 + 4 L + 6
Daraus folgt:
L = - 3 / 2.
Dies setzen wir in die allgemeine Gleichung
für die Büschelebene ein,
und wir erhalten nach kurzer Rechnung:
10 x – 5 y + 8 z – 30 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4861
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 10:33: |
|
Hi allerseits
Schon Tux hat vorgeschlagen, das Spieglungsprinzip zu verwenden.
Statt aber drei bestimmte Punkte der Ebene E1 an W zu spiegeln, tun wir dies mit einem allgemeinen Punkt
Po(xo/yo/zo).
Wir verwenden dabei eine einfache und naheliegende Methode, die wohl bekannt sein dürfte.
Die Gerade g durch Po, die senkrecht zur Spiegelungsebene W
steht, schneidet diese in F.
Von F aus tragen wir die Strecke Po F auf g in derselben Richtung nochmals ab; der Endpunkt Poo ist der gespiegelte Punkt (nota bene : F ist Mittelpunkt der Strecke Po Poo)
g in Parameterdarstellung:
x = xo + t ; y = yo + 4 t ; z = zo – t.
Schnitt von g mit W (einsetzen!):
xo + t + 4 yo + 16 t – zo + t = 3
daraus
18 t = 3 – xo – 4 yo + zo
Der Wert,der aus dieser Beziehun für t entsteht,gilt für
den Schnittpunkt F.
Damit wir den Bildpunkt Poo erhalten, ist dieser t-Wert zu
verdoppeln (Dopplereffekt).
Der massgebliche t-Wert für Poo(xoo/yoo/zoo) ist somit:
t = (3 – xo – 4 yo + zo) / 9.
Wir heben schon die Abbildungsgleichungenb für die Spiegelung an der Ebene W; sie lauten
xoo = xo + (3 – xo – 4 yo + zo) / 9
yoo = yo + 4 (3 – xo – 4 yo + zo) / 9
zoo = zo - (3 – xo – 4 yo + zo) / 9
vereinfacht:
xoo = 1/9 [8 xo – 4 yo + zo + 3]
yoo = 1/9 [- 4 xo -7 yo + 4 zo + 12) ]
zoo = 1/9 [ xo + 4 yo + 8 zo - 3 ]
Mit diesen Formeln berechnen wir die Koordinaten des gespiegelten Punktes aus denjenigen des Ausgangspunktes
Dieselben Formeln dienen auch für die Umkehrabbildung;
es sind einfach die Doppel - oo durch die einfachen o zu ersetzen.
Dies verdanken wir der Tatsache, dass die Spiegelung eine
involutorische Abbildung ist.
Es gilt also auch:
xo = 1/9 [8 xoo – 4 yoo + zoo + 3]
yo = 1/9 [- 4 xoo -7 yoo + 4 zoo + 12) ]
zo = 1/9 [ xoo + 4 yoo + 8 zoo – 3]
Letzteres setzen wir in die Gleichung für E1
4 xo + yo + 2 zo – 12 = 0 ein und erhalten postwendend
(d.h. nach einigen Berechnungen)
die Gleichung
10 xoo – 5 yoo + 8 zoo – 30 = 0
für E2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4862
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 16:35: |
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Hi allerseits
Auf der Suche nach weiteren Lösungsmethoden bin ich auf die orthogonale Koordinaten -Transformation im R3 gestoßen.
Das Koordinatensytem soll zuerst parallel verschoben werden
und zwar so, dass der Punkt U(3/0/0) der Schnittgeraden g
der Ebenen W und E1 neuer Nullpunkt wird.
Dieses Verfahren ist rasch bewältigt
und führt auf die folgenden neuen Daten für W, E1 und die
Achse g des dadurch bestimmten Ebenenbüschels.
(Neue Bezeichnungen im Ergebnis einzuführen, lohnt sich nicht).
Ebene W : x + 4 y – z = 0
Ebene E1: 4 x + y + 2 z = 0
Gerade g: x = - 3 t ; y = 2 t ; z = 5 t.
Es soll ein neues orthonormiertes Koordinatensystem X,Y,Z eingeführt werden mit folgenden Vorgaben.
U ist der neue Nullpunkt.
Die Z-Achse fällt in die Gerade g;
Die Schnittgerade s der Normalebene durch U zu g
mit der alten (x,y) - Ebene wird zum Träger der X-Achse gemacht.
Daraus ergibt sich die Y-Achse eo ipso.
Man bestimme zunächst die orthogonale (3,3)-Matrix,
aus welcher man die Transformationsgleichungen (beide Richtungen) ablesen kann.
Zur Abkürzung verwende man die folgenden Bezeichnungen:
1/wurzel(13) = w1; 1/wurzel(38) = w2
Wie sieht die erwähnte Transformationsmatrix aus?
Nach erfolgter Transformation lässt sich die Ebene E2 leicht,
i.e. leichter, ermitteln, indem nun ein ebenes Problem mit
Winkelhalbierungsgeraden vorliegt.
Ähnlich geht man mit den Methoden der Darstellenden
Geometrie vor; das entsprechende Verfahren heißt Umprojizieren(Einführung neuer Rissebenen).
Aber das ist eine andere Geschichte.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4863
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 21:56: |
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Hi allerseits
Bei so langen und anspruchsvollen Texten können
und wollen Tippfehler nicht ausbleiben.
Eine aufmerksame Leserin hat mich auf einen solchen
in meinem Text, der heute um 08.46 MEZ
erschien, aufmerksam gemacht.
Früher hatte ich mich bei solchen Fehlern herausgeredet, heute tue ich das nicht mehr:
ich versuche, die Fehler zu verbessern.
Hier der Abschnitt mit der falschen Formel:
„Dieses Büschel besteht aus der Gesamtheit der Ebenen,
die durch die Schnittgerade s der Ebenen E1 und W gehen.
Die Gleichung dieses Büschels mit L als Parameter lautet:
4 x + y + 2 z - 12 + L [ x + 4 y - z - 3 ] = 0“
Richtig sollte stehen:
x + 4 y – z – 3 + L [4 x + y + 2 z – 12] = 0
Ich bitte, das Versehen zu entschuldigen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4864
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 11:27: |
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Hi Walter,alias Mainziman
Ich habe Deine Idee,eine Abbildungsmatrix einzusetzen,weiter verfolgt.
Das Resultat werde ich heute noch,sofern die Zeit reicht,ins Netz stellen,
unter einer Extra-Rubrik.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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