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Corvus_corax (Corvus_corax)
Neues Mitglied
Benutzername: Corvus_corax
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 07:00: | 
|
Hi,
Wir haben folgende Angaben bekommen:
Gerade g: X=(3;0;0)+t*(-3;2;5)
Kugel K: (x-5)^2+(y-1)^2+(z-6)^2=21
Gesucht sind die Ebenen durch g, die K berühren.
Das scheint eine schwierige Aufgabe zu sein, theoretisch kann ich mir einen Lösungsweg vorstellen, aber mit dem Rechnen komme ich nicht weiter! Vielleicht kann uns jemand helfen, danke dafür!
corvus |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4847
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 13:51: |
|
Hi corvus
Es gibt verschiedene Methoden, diese Aufgabe zu lösen.
Einige davon wurden in diesem Forum früher schon gezeigt.
Zur Abwechslung präsentiere ich eine Methode, die wenig
zum Zuge kommt und nicht allzu viel Rechenaufwand
erfordert.
Zuerst führe ich eine Parallelverschiebung des
Koordinatensystems aus. Neuer Nullpunkt soll der Kugelmittelpunkt M(5/1/6) werden.
Die neuen Koordinaten seien X,Y,Z.
Dann bestehen die Transformationsgleichungen
X = x – 5; Y = y – 1 ; Z = z – 6;
umgekehrt:
x = X + 5 ; y = Y + 1 , z = Z +6
Kugelgleichung neu:
X^2 + Y^2 + Z^2 = 21
Geradengleichung neu:
g: X = - 2 – 3 t ; Y = - 1 + 2 t ; Z = - 6 + 5 t.
P1(X1/Y1/Z1) sei der Berührungspunkt einer gesuchten
Tangentialebene E auf der Kugel.
Dann lautete eine Gleichung von E so:
X1 X + Y1 Y + Z1 Z = 21,ferner gilt natürlich
X1^2+Y1^2 + z1^2 = 21…………………………………(1)
Auf g greifen wir zwei beliebige Punkte A und B heraus!
Wähle t = 0 ; dann kommt:XA = - 2,YA = - 1 ; zA = - 6
Wähle t = 1 ; dann kommt:XB = - 5,YB = 1 ; zB = - 1
A muss auf der Ebene E liegen, also gilt:
- 2 X1 – Y1 - 6 Z1 = 21………………………………….(2)
B muss auf der Ebene E liegen, also gilt:
- 5 X1 + Y1 - Z1 = 21…………………………………..(3)
Berechnen nun aus den Gleichungen (1),(2),(3) die
Koordinaten X1,Y1,Z1 (je zwei Lösungen!)..
Es ist dann nicht mehr schwierig, zu den alten
Koordinaten x,y,z zu wechseln und die Gleichungen
der beiden Tangentialebenen aufzustellen.
Zu weitern Hilfen bin ich gerne bereit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Corvus_corax (Corvus_corax)
Neues Mitglied
Benutzername: Corvus_corax
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 14:48: |
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hi, megamath, danke vorerst, dass du dich dieser Aufgabe annimmst! Ich habe es auch soweit verstanden, was du bisher berechnet hast, aber jetzt komme ich nicht so recht voran. Dein Angebot zur weiteren Hilfe nehme ich also gerne an! ;-)
mfG
corvus |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4848
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 15:48: |
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Hi corvus (alias cornix)
Noch ein paar Schritte auf dem eingeschlagenen Weg:
Addiere die Gleichungen (2) und (3);
es folgt X1 + Z1 = - 6
schließlich:
X1 = - 6 – Z1
Y1 = - 9 – 4 Z1
Setze dies in (1) ein!
Du bekommst die quadratische Gleichung in Z1:
3 Z1^2 + 14 Z1 + 16 = 0
Lösungen: - 2 und – 8/3.
Interpretation:
Wir haben die Z-Koordinaten der Berührungspunkte der
beiden möglichen Tangentialebenen E1 und E2
durch g, allerdings in den neuen Koordinaten Z ausgedrückt.
Wir behandeln von jetzt ab die beiden Fälle
säuberlich getrennt.
1.Fall:
Z1 = - 2 , daraus X1 = - 4 , Y1 = -1
alte Koordinaten :
z1 = Z1 + 6 = 4
x1 = X1 + 5 = 1
y1 = Y1+ 1 = 0
Tangentialebene E1:
(x1-5)*(x-5) + (y1 – 1)*(y-1) + (z1-6)*(z-6) = 21
Das gibt schließlich als Gleichung der ersten
Tangentialebene :
4 x + y + 2 z = 12
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Analog geht es im zweiten Fall zu und her!
Es gibt Tests für die Richtigkeit; diese sind
in einem internen Verfahren alle positiv verlaufen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4849
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 07:34: |
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Hi corvus
Vorab:
"cornix" ist ein Synonym für "corvus", wenn ich mich
nicht irre und tönt auch nicht schlecht...
Ich behandle in diesem Beitrag noch den zweiten Fall:
2.Fall:
Z1 = - 8/3 , daraus X1 = - 10/3 , Y1 = 5/3
alte Koordinaten :
z1 = Z1 + 6 = 10/3
x1 = X1 + 5 = 5/3
y1 = Y1 + 1 = 8/3
Tangentialebene E2:
(x1-5)*(x-5) + (y1 – 1)*(y-1) + (z1-6)*(z-6) = 21
Das gibt schliesslich als Gleichung der zweiten
Tangentialebene :
10 x - 5 y + 8 z = 30
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüsssen
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 08:32: |
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@megamath:
Corvus corax ist der Kolkrabe,
Corvus corone cornix ist die Nebelkrähe…
Ich dachte schon, Du hast die „Vernebelung“ von Corvus angesprochen….!  |
megamathelsa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 09:22: |
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Hi corvus
Da die Lösungen vorliegen, zeige ich wie man sie auf
ihre Richtigkeit überprüfen kann.
I.
Als erste Lösung erschien die Ebene E1 mit
4 x + y + 2 z = 12
als Koordinaten Gleichung.
Wir berechnen mit der Hesseschen Formel den Abstand dieser Ebene vom Mittelpunkt M(5/1/6) der Kugel:
Hessesche-Normalform von E1:
(4 x + y + 2 z - 12) / sqrt (4^2+1^2+2^2) = 0 oder
(4 x + y + 2 z - 12) / sqrt (21) = 0
Wir setzen die Koordinaten von M ein und erhalten mit
dem Wert der linken Seite den gesuchten Abstand d, nämlich
d = 21/ sqrt (21) = sqrt (21), wie es sein muss.
Weiter:
wir setzen die Werte aus der Parametergleichung für g in die
linke Seite der Gleichung für E1 ein.
Was passiert wohl? Der Parameter t fällt heraus und wir erhalten die Konstante 12, wie es sein muss:
4 ( 3 – 3 t ) + 2 t + (5 t ) = 12 , i.O.
II.
Als zweite Lösung erschien die Ebene E2 mit
10 x - 5 y + 8 z = 30
als Koordinaten Gleichung.
Wir berechnen mit der Hesseschen Formel den Abstand dieser Ebene
vom Mittelpunkt M(5/1/6) der Kugel:
Hessesche-Normalform von E2:
(10 x - 5 y + 8 z - 30) / sqrt (10^2 + 5 ^2 + 8^2) = 0 oder
(10 x - 5 y + 8 z - 30) / sqrt (189) = 0
Wir setzen die Koordinaten von M ein und erhalten mit
dem Wert der linken Seite den gesuchten Abstand d, nämlich
d = 63 / [3*sqrt (21)] = sqrt (21), wie es sein muss.
Weiter:
wir setzen die Werte aus der Parametergleichung für g in die
linke Seite der Gleichung für E2 ein.
Was passiert wohl? Der Parameter t fällt heraus und wir erhalten die Konstante 12, wie es sein muss:
10 ( 3 – 3 t ) – 5 (2 t) + 8 (5 t ) = 30, i.O.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 09:28: |
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nanu?????  |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4850
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 09:42: |
|
Liebe elsa
Ich danke Dir für Deinen lehrreichen Beitrag.
Ich wusste schon auch etwas über die Kolkraben;
ich habe täglich mit ihnen zu tun, wenn ich mit meinem Hund
durch Feld und Wald pirsche.
Meine Bedenken lagen aber woanders.
Da corvus auf eine meiner Beiträge nicht reagierte,
befürchtete ich, er sei beleidigt, weil im Alias-Name die Silbe nix
auftaucht und er das so deuten könnte:
nix verstan von Mathematik,hihi;
dies trifft aber natürlich nicht zu!
Nochmals besten Dank.
Ich komme auf das Thema zurück
Mit herzlichen Grüssen ins sonnige Wien
HR |
Corvus_corax (Corvus_corax)
Neues Mitglied
Benutzername: Corvus_corax
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 11:37: |
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Hallo und vielen Dank, ich komme erst jetzt zu meinem PC. Ich muss erst alles nachrechnen , danke auf jeden Fall für die ausführliche Arbeit!
mfG
corvus |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4851
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. März, 2005 - 14:38: |
|
Hi corvus
Ich präsentiere eine weitere Methode zur Lösung Deiner Aufgabe.
Es sollen das Ebenenbüschel und die Hessesche Abstandsformel zur Anwendung gelangen.
A] Ebenenbüschel
Darunter versteht man die Gesamtheit der Ebenen, die durch eine gegebene Gerade g gehen;
g nennt man die Achse des Büschels.
Herstellung der Gleichung des durch g bestimmten Büschels.
aus der Parameterdarstellung
x = 3 – 3 t ; y = 2 t ; z = 5 t
von g.
Wir ermitteln zwei spezielle Ebenen, die durch g gehen:
1.Ebene F1:
Eliminiere aus den drei Gleichungen für g die Variablen
t und x;
es bleibt die Gleichung
F1 = 5 y – 2 z = 0 übrig; das ist eine zur x-Achse parallele Ebene durch g.
2.Ebene F2:
Eliminiere aus den drei Gleichungen für g die Variablen
t und z;
es bleibt die Gleichung
F2 =2 x + 3 y – 6 = 0 übrig; das ist eine zur z-Achse parallele Ebene durch g.
Wir schreiben die Gleichung des durch die Ebenen
F1 = 5 y – 2 z = 0 und F2 = 2 x + 3 y – 6 = 0
bestimmten Ebenenbüschels mit L als Parameter an:
F1 + L * F2 = 0
also:
5 y – 2 z + L * (2 x + 3 y – 6) = 0 …………………………………(LK)
Wir haben linear kombiniert, so einfach ist das!
Für jedes L erhalten wir mit (LK) eine Ebene PHI
durch g.
B] Gebrauch der Hessecshen Abstandsformel
Wir müssen nun L so bestimmen, dass die Ebene PHI
von M den Abstand wurzel(21) hat; dies geschieht unter der
Aegide von Hesse.
Zuerst bringen wir Ordnung in die Gleichung (LK)
Resultat:
2 L x + (5 + 3 L ) y - 2 z – 6 L = 0
Daraus entsteht die Hessesche Normalform (HNF) so:
Man dividiere durch
D = sqrt [4 L^2 + (5 +3 L)^2 + 4 ];
es entsteht die HNF:
{2 L x + (5 + 3 L ) y - 2 z – 6 L} / D = 0
Setze darin die Koordinaten von M, also
x = 5 ; y = 1 ; z = 6
ein, setze rechts statt 0 den Abstand wurzel(21) ein
und quadriere.
Es entsteht nach gehöriger Vereinfachung
die quadratische Gleichung für L:
4 L^2 + 13 L + 10 = 0
Lösungen L1 = - 2 ; L2 = - 5/4 .
Setze dies in (LK) ein!
Die erste L. gibt die Ebene E1, die zweite L. gibt E2.
Wie eh und jäh:
E1: 4 x + y + 2 z =12
E2: 10 x – 5 y + 8 z = 30.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Corvus_corax (Corvus_corax)
Neues Mitglied
Benutzername: Corvus_corax
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 06:49: |
|
Danke megamath, es ist ja interessant, wie verschieden man diese Aufgabe angehen kann!
Vielen Dank!
corvus_ |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4858
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 20:24: |
|
Hi corvus
Ich wage es kaum laut zu sagen:
ich habe noch eine Lösungsmethode in petto!
Privatim verwende ich zur Lösung dieser Aufgabe
stets die folgende recht raffinierte Methode;
sie erfordert jedoch im vorliegenden
Fall einen ziemlich großen Rechenaufwand.
Wir gehen aus vom Ansatz der gesuchten Ebene E,
die wir so schreiben:
E : a x + b y + c z + d = 0.
Die Gleichung liege bereits in der Hesseschen Normalform vor.
Dann gilt, wie man sich leicht überlegt,
a^2 + b^2 + c^2 = 1 …………………………………………(0)
Da der Mittelpunkt M(5/1/6) von E den Abstand
wurzel (21) hat, gilt
5 a + b + 6 c + d = wurzel(21)…………………………… (1)
wurzel(21) kürzen wir im Folgenden mit w ab;
also gilt w = wurzel (21)
Wir wählen zwei Punkte A, B auf g aus:
A(0/2/5), B(3/0/0)
A liegt auf E, also gilt
2 b + 5 c + d = 0…………………………………………………..(2)
B liegt auf E, also gilt
3 a + d = 0…………………………………………………………….(3)
Aus (1), (2) und (3) folgt die Darstellung
a = 2/7 w - c
b = 3/7 w - 4 c
c = c (hihi)
d = - 6/7 w + 3 c
Setzt man dies in (0) ein, so erhält man
nach einiger Rechnung die quadratische Gleichung
in c:
63 c^2 - 14 w c + 16 = 0
Lösungen:
c1 = 2 w / 21 ; c2 = 8 w/ 63
1. Fall: c1
c1 = 2w /21 = 2 / wurzel (21) , führt auf
a1 = 4 / w
b1 = 1 / w
d1 = - 12 / w
Im diesem Fall entsteht die Ebene E1 mit der Gleichung
E1: 4 x + y + 2 z - 12 = 0
Analog wird der 2.Fall behandelt
Es ergeben sich die früher berechneten Gleichungen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Corvus_corax (Corvus_corax)
Neues Mitglied
Benutzername: Corvus_corax
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 07:02: |
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Hi, megamath, und ich wage kaum zu glauben, dass es noch eine Version gibt zu dieser Aufgabe! Offensichtlich bist du unerschöpflich im Auffinden von Lösungen!
danke, das ist sehr interessant!
corvus_ |
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