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Volumen eines Tetraeders aus den Glei...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Körper » Volumen eines Tetraeders aus den Gleichungen der Seitenflächen « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4843
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 13:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Vor kurzem wurden in diesem Forum Aufgaben behandelt,
bei denen das Volumen eines Tetraeders zu berechnen
war.
Vom Tetraeder waren jeweils die Koordinaten der vier
Ecken A, B, C, D gegeben.
Solche Aufgaben gehören zu den Grundaufgaben
der Vektorrechnung; manchmal bilden sie den
krönenden Abschluss dieser Sparte.

Bei der untenstehenden Aufgabe soll nun das Volumen V
eines Tetraeders aus den Koordinatengleichungen der
vier Seitenebenen ABC, ABD, ACD, BCD
ermittelt werden.

Es liege das folgende numerische Beispiel vor:
Ebene ABC: x + 2 y + 6 z = 0
Ebene ABD: 64 x - 43 y – 15 z = 0
Ebene ACD: 4 x – 11 y + 5 z = 0
Ebene BCD: 116 x + 61 y + 69 z = 1368

Gesucht: V, ohne CAS – Einsatz.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4844
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 15:03:   Beitrag drucken

Hi

Zur Einstimmung schaue man bei Google nach,
unter "1368".

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4845
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 09:36:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Zur Lösung dieser Aufgabe müssen einige Register gezogen werden,
und das ist gut so.
Die Aufgabe ist trefflich dafür geeignet, wichtige
Grundaufgaben der Vektorrechnung zu repetieren.

Die Ermittlung der Schnittgeraden von Ebenen
muss mit Sicherheit gelingen, und der Umgang
mit dem Vektorprodukt und dem gemischten Produkt
darf keine Schwierigkeiten bereiten.

Die Lösung der Aufgabe geschieht in zwei Teilen:

1.Teil: Ermittlung der Ecken A,B,C,D des Tetraeders.
Ergebnis: A(0/0/0),B(8/14/-6),C(12/3/-3),D(5/5/7).

2.Teil: Berechnung des Volumens V
Ergebnis:V = 228.


1.Teil.

Die Ecke A fällt mit dem Nullpunkt O zusammen.
da die drei ersten gegebenen Ebenen durch O gehen;
es gilt: A(0/0/0).

Ermittlung des Punktes B als Schnittpunkt der
Ebenen ABC,ABD,BCD.
Wir ermitteln die Schnittgerade s1 der Ebenen ABC
und ABD und durchstoßen sie mit der Ebene BCD;
dies ergibt den Punkt B.
Da s1 durch A geht und damit eine Ursprungsgerade
ist, genügt es, von s1 einen Richtungsvektor u
zu ermitteln.
Als Vektor u dient uns gerade das Vektorprodukt
der Normalenvektoren n={1;2;6} und
m = {64;-43;-15} der Ebenen ABC und ABD.
Wir berechnen u = 57*{4;7;-3}
Parameterdarstellung von s1 (Parameter t):
x = 4 t , y = 7 t ; z = - 3t
Schnittpunkt B von s1 mit der Ebene BCD ( t = 2):
B(8/14/-6),wie angekündigt.


Ermittlung des Punktes C als Schnittpunkt der
Ebenen ABC,ACD,BCD.
Wir ermitteln die Schnittgerade s2 der Ebenen ABC
und ACD und durchstoßen sie mit der Ebene BCD;
dies ergibt den Punkt C.
Da s2 durch A geht und damit eine Ursprungsgerade
ist, genügt es, von s2 einen Richtungsvektor v
zu ermitteln.
Als Vektor v dient uns gerade das Vektorprodukt
der Normalenvektoren n={1;2;6} und
m = {4;-11;5} der Ebenen ABC und ACD.
Wir berechnen v = 19*{-4;-1;1}
Parameterdarstellung von s1 (Parameter t):
x = - 4 t , y = - t ; z = t
Schnittpunkt C von s2 mit der Ebene BCD ( t = -3 ):
C(12/3/-3),wie angekündigt.

Ermittlung des Punktes D als Schnittpunkt der
Ebenen BCD,ACD,ABD.
Wir bestimmen die Schnittgerade s3 der Ebenen BCD
und ACD und durchstoßen sie mit der Ebene ABD;
dies ergibt den Punkt D.
s3 geht durch C;
wir verwenden daher C als Aufpunkt
und ermitteln mit w einen Richtungsvektor von s3.
Als Vektor w dient uns gerade das Vektorprodukt
der Normalenvektoren n={116;61;69} und
m = {4;-11;5} der Ebenen BCD und ACD.
Wir berechnen u =152*{7;-2;-10}
Parameterdarstellung von s3 (Parameter t):
x = 12 + 7 t ; y = 3 - 2 t ; z = - 3 - 10 t
Schnittpunkt D von s3 mit der Ebene ABD ( t = -1 ):
D(5/5/7), wie angekündigt.

Ende des ersten Teils.
Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4846
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 12:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt der zweite Teil der Lösung
Ich führe die drei Kantenvektoren
u = AB = {8;14;-6}
v = AC = {12;3;-3}
w = AD = {5;5;7}
ein.

Ich berechne zuerst das Vektorprodukt p = u x v
Ergebnis: p = - 24 {1;2;6}
Das Volumen V ergibt sich als sechster Teil des Skalarprodukts
von p mit dem Vektor w:
V = 1/6 * (u x v ) . w = 1/6 (-24) (5+10+42) = - 228
Das Minuszeichen ignorieren wir.

Damit ist die ganze Aufgabe erfolgreich gelöst.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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