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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4843 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 13:33: |
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Hi allerseits Vor kurzem wurden in diesem Forum Aufgaben behandelt, bei denen das Volumen eines Tetraeders zu berechnen war. Vom Tetraeder waren jeweils die Koordinaten der vier Ecken A, B, C, D gegeben. Solche Aufgaben gehören zu den Grundaufgaben der Vektorrechnung; manchmal bilden sie den krönenden Abschluss dieser Sparte. Bei der untenstehenden Aufgabe soll nun das Volumen V eines Tetraeders aus den Koordinatengleichungen der vier Seitenebenen ABC, ABD, ACD, BCD ermittelt werden. Es liege das folgende numerische Beispiel vor: Ebene ABC: x + 2 y + 6 z = 0 Ebene ABD: 64 x - 43 y – 15 z = 0 Ebene ACD: 4 x – 11 y + 5 z = 0 Ebene BCD: 116 x + 61 y + 69 z = 1368 Gesucht: V, ohne CAS – Einsatz. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4844 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 15:03: |
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Hi Zur Einstimmung schaue man bei Google nach, unter "1368". MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4845 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 09:36: |
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Hi allerseits Zur Lösung dieser Aufgabe müssen einige Register gezogen werden, und das ist gut so. Die Aufgabe ist trefflich dafür geeignet, wichtige Grundaufgaben der Vektorrechnung zu repetieren. Die Ermittlung der Schnittgeraden von Ebenen muss mit Sicherheit gelingen, und der Umgang mit dem Vektorprodukt und dem gemischten Produkt darf keine Schwierigkeiten bereiten. Die Lösung der Aufgabe geschieht in zwei Teilen: 1.Teil: Ermittlung der Ecken A,B,C,D des Tetraeders. Ergebnis: A(0/0/0),B(8/14/-6),C(12/3/-3),D(5/5/7). 2.Teil: Berechnung des Volumens V Ergebnis:V = 228. 1.Teil. Die Ecke A fällt mit dem Nullpunkt O zusammen. da die drei ersten gegebenen Ebenen durch O gehen; es gilt: A(0/0/0). Ermittlung des Punktes B als Schnittpunkt der Ebenen ABC,ABD,BCD. Wir ermitteln die Schnittgerade s1 der Ebenen ABC und ABD und durchstoßen sie mit der Ebene BCD; dies ergibt den Punkt B. Da s1 durch A geht und damit eine Ursprungsgerade ist, genügt es, von s1 einen Richtungsvektor u zu ermitteln. Als Vektor u dient uns gerade das Vektorprodukt der Normalenvektoren n={1;2;6} und m = {64;-43;-15} der Ebenen ABC und ABD. Wir berechnen u = 57*{4;7;-3} Parameterdarstellung von s1 (Parameter t): x = 4 t , y = 7 t ; z = - 3t Schnittpunkt B von s1 mit der Ebene BCD ( t = 2): B(8/14/-6),wie angekündigt. Ermittlung des Punktes C als Schnittpunkt der Ebenen ABC,ACD,BCD. Wir ermitteln die Schnittgerade s2 der Ebenen ABC und ACD und durchstoßen sie mit der Ebene BCD; dies ergibt den Punkt C. Da s2 durch A geht und damit eine Ursprungsgerade ist, genügt es, von s2 einen Richtungsvektor v zu ermitteln. Als Vektor v dient uns gerade das Vektorprodukt der Normalenvektoren n={1;2;6} und m = {4;-11;5} der Ebenen ABC und ACD. Wir berechnen v = 19*{-4;-1;1} Parameterdarstellung von s1 (Parameter t): x = - 4 t , y = - t ; z = t Schnittpunkt C von s2 mit der Ebene BCD ( t = -3 ): C(12/3/-3),wie angekündigt. Ermittlung des Punktes D als Schnittpunkt der Ebenen BCD,ACD,ABD. Wir bestimmen die Schnittgerade s3 der Ebenen BCD und ACD und durchstoßen sie mit der Ebene ABD; dies ergibt den Punkt D. s3 geht durch C; wir verwenden daher C als Aufpunkt und ermitteln mit w einen Richtungsvektor von s3. Als Vektor w dient uns gerade das Vektorprodukt der Normalenvektoren n={116;61;69} und m = {4;-11;5} der Ebenen BCD und ACD. Wir berechnen u =152*{7;-2;-10} Parameterdarstellung von s3 (Parameter t): x = 12 + 7 t ; y = 3 - 2 t ; z = - 3 - 10 t Schnittpunkt D von s3 mit der Ebene ABD ( t = -1 ): D(5/5/7), wie angekündigt. Ende des ersten Teils. Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4846 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 12:33: |
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Hi allerseits Es folgt der zweite Teil der Lösung Ich führe die drei Kantenvektoren u = AB = {8;14;-6} v = AC = {12;3;-3} w = AD = {5;5;7} ein. Ich berechne zuerst das Vektorprodukt p = u x v Ergebnis: p = - 24 {1;2;6} Das Volumen V ergibt sich als sechster Teil des Skalarprodukts von p mit dem Vektor w: V = 1/6 * (u x v ) . w = 1/6 (-24) (5+10+42) = - 228 Das Minuszeichen ignorieren wir. Damit ist die ganze Aufgabe erfolgreich gelöst. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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