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Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 18:58: | 
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Hallo,
folgende Gleichung ist zu lösen:
tan 25° + 2 tan 50° + 4 tan100° + 8 cot 200° = cot 25°
Zuerst habe ich für 25°=x gesetzt, tan2x ist ja dann noch einfach einzusetzen, tan4x und 8x ... da kommt ja eine unendliche lange Rechnung raus! Vielleicht gibt es einen einfacheren Weg, den sehe ich aber im Moment nicht. :-(
Danke
theresia |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1162
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 21:08: |
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ich würde es in mehreren Schritten machen
4 tan100° + 8 cot 200° = 4( tan100° + 2/tan(2*100°) ) = 4( tan 100° + 2(1-tan^2(100°))/(2tan 100°) ) =
4( tan 100° + (1-tan^2(100°))/tan 100° ) = 4/tan 100° = 4cot 100°
jetzt bleibt
tan 25° + 2tan 50° + 4cot 100°
nächste Etappe
2tan 50° + 4cot 100° = 2(tan 50° + 2/tan(2*50°)) = 2( tan 50° + 2(1-tan^2(50°))/(2tan 50°) ) = 2( tan 50° + (1-tan^2(50°))/(tan 50°) ) = 2/tan 50° = 2cot 50°
jetzt bleibt
tan 25° + 2cot 50°
letzte Etappe analog ergibt cot 25°
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1163
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 21:25: |
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zu der Rechnung für mir grad 'ne nette Aufgabe ein:
man zeige:
für alle n aus IN gilt
( SUM [i=0,n-1] 2^i * tan(2^i * x) ) + 2^n * cot(2^n * x) = cot(x)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 07:13: |
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Danke Mainzi, ich schau mir das abends genau an!
viele Grüße
theresia |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4837
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 14:11: |
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Hi theresia
Die Lösung von Mainziman ist frappierend und daher zum
eingehenden Studium zu empfehlen.
Vielleicht löst auch jemand die Zusatzaufgabe.
Ich möchte zur Ergänzung zeigen, dass der von Dir
vorgeschlagene Weg durchaus gangbar ist
und nach gewissen Vorbereitungen zum Ziel führt.
Zurrest gilt es, die gegebene Relation zu durchforsten.
Wir wollen einen Summanden ausmerzen, indem
wir von der folgenden einfachen Relation Gebrauch machen:
Lemma:
tan 100° + 2 cot 200° = cot 100°………………………………(L)
Beweis des Lemmas:
Setze tan 100° = y
Dann kommt mit Hilfe der Doppelwinkelformel des Tangens:
tan 200° = 2 y / (1 – y^2), also cot 200° = (1 – y^2) / (2 y)
Somit:
tan 100° + 2 cot 200° = y + ( 1 – y^2) / y = 1 / y = cot 100°
qed.
Wir wollen das Terrain weiter vorbereiten.
Substituiere tan 25° = x
Dann bekommst Du mit derselben Doppelwinkelformel
der Reihe nach:
tan 50° = 2 x / (1 - x^2)
tan 100° = 2 * [2 x / (1 - x^2)] / [1 - 4 x^2 / (1 - x^2)^2] =
[4x(1-x^2)] / [1 - 6 x^2 + x^4].
Wir benötigen in der zu beweisenden Relation den cot 100°.
Dieser kann durch den Übergang zum Reziprokwert gewonnen
werden:
cot 100° = [1 - 6 x^2 + x^4] / [4 x (1-x^2)]
*****
Nach diesen Vorbereitungen lässt sich die gegebene Relation
leicht verifizieren; wir bezeichnen die linke Seite mit L
und zeigen,
dass sie mit der rechten Seite R übereinstimmt.
Es ist :
L = tan 25° + 2 tan 50° + 4 tan100° + 8 cot 200°
Wegen (L) kommt
L = tan 100° + 2 tan 50 ° + 4 cot 100°
Dies drücken wir mit Hilfe der Abkürzung x aus:
L = x + 4 x / ( 1 – x^2) + 4 (1 – 6 x^2 + x^2) / [4x (1-x^2) ]
Vereinfacht:
L = (1 - x^2) / [x (1 - x^2) ]
= 1 / x ; dies ist aber auch gleich R, hihi!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4838
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 18:10: |
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Hi theresia
Ich will Dir die professionelle Lösung Deiner
Aufgabe nicht vorenthalten!
Sie beruht auf der wenig bekannten Formel
tan t - cot t = - 2 * cot (2 t)
Bringe alle Terme nach links und berechne die linke Seite
T = tan 25° - cot 25° + 2 tan 50° + 4 tan 100° + 8 cot 200°
= - 2 cot 50° +2 tan 50° + 4 tan 100° + 8 cot 200° =
= - 4 cot 100° + 4 tan 100° + 8 cot 200°=
= - 8 cot 200° + 8 cot 200° = 0
voilà
MfG
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 88
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 19:52: |
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...und um auf diese von megamath beschriebene Formel zu kommen,
halte man sich einfach an mainzimanns Berechnungen, zB an diese Etappe:
tan 25° + 2*cot 50°= cot 25°
setzt man 25° = x
==>
tan x + 2*cot 2x = cot x
***********************
:-)
elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4839
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 20:03: |
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Hi allerseits
Ein kleines Abendvergnügen:
Man leite die Formel kunstgerecht her!*
MfG
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 20:21: |
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Mit Vergnügen:
elsa |
Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 21:32: |
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Das ist ja ganz toll, danke an alle! Und eine neue Formel kann ich auch in mein Formelheft einschreiben! Danke!
Theresia |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1165
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 22:49: |
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damit jeder noch was dabei lernt
2cot(2x) = 2cos(2x)/sin(2x) = 2(cos^2(x)-sin^2(x))/(2sin(x)cos(x)) = (cos^2(x)-sin^2(x))/(sin(x)cos(x)) = cos(x)/sin(x) - sin(x)/cos(x) = cot(x) - tan(x)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4840
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. März, 2005 - 07:00: |
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Hi elsa; Hi Walter
Besten Dank für die prompte Herleitung der
Cotangensformel.
Es geht so oder so!
Ich möchte bei dieser Gelegenheit darauf hinweisen,
dass wir in diesem Forum vor geraumer Zeit
solche goniometrischen Relationen zu Hauf aufgestellt und
oft mühsam bewiesen haben.
Sie waren manchmal recht skurril!
Restbestände findet man im Archiv, auch in der LF-Serie.
Theresia möchte ich dafür danken, dass sie positiv auf unsere
Arbeit reagiert hat; das ist heutzutage leider nicht
selbstverständlich.
Ihre neuste Aufgabe konnten wir nicht bearbeiten,
weil wir sie (die Aufgabe) einfach verschlafen haben;
Mythos hielt Wache und fand die Lösung in der Stille
der Nacht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4841
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. März, 2005 - 07:40: |
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Hi allerseits
Ich habe ein solches Beispiel ausgegraben und möchte es hier
präsentieren:
Man beweise die goniometrische Relation
2 cos 666° - sin 444° - wurzel (3) cos 444° = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1328
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. März, 2005 - 10:53: |
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.. mit anderen Worten
2*cos(54°) - sin(84°) + sqrt(3) * cos(84°) = 0
54° = 60° - 6° und 84° = 90° - 6°
»»
2*cos(60° - 6°) - cos(6°) + sqrt(3) * sin(6°) = 0
Add. th.
2*(1/2)*cos(6°) - sqrt(3) * sin(6°) - cos(6°) + sqrt(3) * sin(6°) = 0
Die linke Seite ist nun
cos(6°) - cos(6°) - sqrt(3) * sin(6°) + sqrt(3) * sin(6°) = 0
Q.e.d.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 05., März. 2005 von mythos2002 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4842
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. März, 2005 - 14:45: |
|
Hi mYthos
Besten Dank für Deinen Beitrag!
Zu Vergleichszwecken folgt die damalige Lösung
„Wir setzen zur Abkürzunng u = 222°.
Die Relation lässt sich in einem Zug herleiten:
2 cos 3 u - sin 2 u - wurzel(3) * cos 2u =
2* [ cos 3 u - { ½ sin 2 u + ½ wurzel(3) * cos 2u }] =
2* [ cos 3 u - { sin 30° sin 2 u + cos30° cos 2u }] =
2* [ cos 3 u – cos ( 2 u - 30° )] =
2* [ cos 666°– cos 414° ] = 2 [cos 306° - cos 54°] =
2* [sin 36° - cos 54° ] = 0 .”
MfG
H.R.Moser,megamath |
