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Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 19:44: | 
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Hi!
Gegeben sind zwei Vektoren:
a =(4; 7; 3) und b = (8; 14; 6)
Nun ist zu zeigen, mittels Kreuzprodukt, dass die beiden Vektoren kollinear sind.
Ergebnis: Nullvektor.
Dann weiß man, dass dies der Fall ist.
Aber nun die Frage (von mir): warum ist das so?
ich bedanke mich für Hilfe!
leo |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1156
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 19:56: |
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2 kollineare Vektoren können kein Rhomboid aufspannen, und darum ergibt das Kreuzprodukt den 0vektor;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 20:08: |
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Das heißt also, das Vektorprodukt hat die Definition, dass der Betrag die Fläche eines Parallelogramms ist? Eigentlich ist es schon merkwürdig, dass die Länge des Normalvektors auf zwei Vektoren die Fläche eines Parallelogramms sein soll, das will mir irgendwie nicht in den Kopf!
Gruß von leo
(Beitrag nachträglich am 01., März. 2005 von leo sommer editiert) |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 20:16: |
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Hi Leo, so ist es aber in der Tat definiert.
Der Hintergrund dafür ist etwas komplizierter und
nehem es erstmal so hin.
An einer Uni wirst du später die Hintergründe lernen.... |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4818
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 20:19: |
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Hi Leo
Mainzimann ha das Nötige schon gesagt.
Ich möchte gleichwohl auf einen Punkt aufmerksam machen,
genauer: auf ein Produkt:
Wenn zwei Vektoren a und b, die beide nicht Nullvektoren sind,
kollinear sind, so beträgt ihr Winkel tau
0 oder 180°.
In beiden Fällen gilt:
abs (a) * abs (b) * sin (tau) = 0.
Letzteres ist aber justement der Betrag des Kreuzprodukts
a x b; damit muss dieses mit dem Nullvektor übereinstimmen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 20:25: |
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Eine sehr interessante Betrachtungsweise!
danke!
leo |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4820
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 07:19: |
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Hi Leo
Du kannst für Vektoren des R3 auch bei drei Vektoren a, b, c
entscheiden, ob sie linear abhängig sind oder nicht,
wenn Du das so genannte gemischte Produkt dieser Vektoren
berechnest.
Das gemischte Produkt s dieser Vektoren ergibt
sich als Skalarprodukt des Vektorprodukts p = a x b
der ersten beiden Vektoren a,b mit dem dritten Vektor c,
Also s = (axb) . c
Für s schreibt man kurz und prägnant:
s = [a, b, c] .
Für dieses Produkt gelten die bemerkenswerten Sätze:
I
Das gemischte Produkt dreier Vektoren
(a x b) . c
ist genau dann null, wenn die Vektoren
linear abhängig sind.
II
Das gemischte Produkt dreier linear unabhängiger Vektoren
(a x b) . c ist gleich dem Volumen des durch a ,b, c
aufgespannten Parallelepipeds.
Dieses Volumen ist positiv, wenn die Vektoren a,b,c
(diese Reihenfolge) eine Rechtsschraube bilden,
andernfalls wird das Volumen negativ.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1157
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 08:17: |
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Zum Kreuzprodukt existiert ebenfalls eine "Vorzeichen-/Richtungsregel": c = a x b
a,b,c (diese Reihenfolge) bilden eine Rechtsschraube
es gilt weiters
a x b = -b x a
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1267
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 10:22: |
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Jupp,
Im IR^3 "Parallelpiped" nennt man auch Spat. Daher findet man Megamths Ansatz auch in Fachbüchern unterm "Spatprodukt".
Meinzimans Vorzeichenregel ist auch als "Korkenzieherregel" bekannt. Also schau dir ein Korkenzieher an, dann weist du was mit Rechtssystem und Rechtsschraube gemeint ist.
Oder gucke dir gleich eine normal "Gewindeschraube" an.
Gruß N. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1160
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 14:01: |
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als Nachtrag eine Anwendung der Korkenzieherregel in der Physik
der Drehmomentvektor errechnet sich aus M = r x F
r ... Radialvektor
F ... Kraftvektor
M ... Drehmomentvektor, welcher in der Drehachse liegt
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4821
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 15:00: |
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Hi Mainziman,Hi Niels
Besten Dank für Eure Beiträge
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4822
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 15:07: |
|
Hi allerseits
Der Einsatz des gemischten Produkts oder Spatprodukts
kann recht nützlich sein.
Ich zeige das am Problem der Zerlegung eines Vektors v
in Komponenten parallel gegebener, linear unabhängiger
Vektoren a, b, c.
Damit alles besser läuft, folgen ein paar Rechengesetze zum
gemischten Produkt von drei Vektoren.
Gesetze für das Spatprodukt
Schreibweise für das aus a,b,c gebildete Spatprodukt in
dieser Reihenfolge der Vektoren:
[a,b,c] = (axb) . c
(1)
[a,b,c] = [b,c,a] = [c,a,b,] = - [c,b,a] = - [b,a,c] = - [a,c,b]
Begründung
Bei zyklischer Permutation der Vektoren (d.h. durch Ersetzung
von a durch b, von b durch c, von c durch a) geht ein
Rechtssystem in ein Rechtssystem und ein Linkssystem
in ein Linkssystem über.
Dagegen geht bei Vertauschung zweier Vektoren ein
Rechtssystem in ein Linkssystem über und umgekehrt.
Folgerung:
[a, a , c] = 0
Beweis :
Vertausche die ersten beiden Vektoren.
Das Produkt ändert nach (1) das Zeichen,
bleibt aber andrerseits unverändert.
Solches kann nur mit der Null geschehen!
analog: (a, b ,b) = 0 usw.
(2)
sind r,s,t drei reelle Zahlen, so gilt
[ra, sb, tc] = r s t [a,b,c]
(3)
Es gilt
[a + b , c , d] = [a,c,d] + [b,c,d]
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4823
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 15:34: |
|
Hi allerseits
Es folgt nun die Zerlegung eines Vektors v
in Komponenten parallel gegebener,
linear unabhängiger Vektoren a, b, c.
Vorerst ein numerisches Beispiel:
gegeben Vektoren v = {6;2;-4) und
a = {2;-1;2}, b = {1;2;2}, c = {-2;1;2}
Bestimme drei reelle Zahlen p,q,r so, dass die Darstellung
v = p a + q b + r c gilt und v somit als Linearkombination
der Vektoren a, b , c erscheint.
Lösung
Multipliziere beide Seiten der Gleichung des gegebenen
Ansatzes skalar mit dem Vektorprodukt (a x b)
Es entsteht:
(a x b ) . v = 0 + 0 + r (axb) c
woher kommen die Nullen?
Antwort: siehe Gesetz (1), Folgerung
Nach r aufgelöst:
r = { (axb) v } / {(axb) c } = - 60 / 20 = - 3
Multipliziere beide Seiten der Gleichung des gegebenen Ansatzes
skalar mit dem Vektorprodukt (b x c)
Es entsteht
(b x c ) . v = p (bxc) a + 0 + 0 +
woher kommen die Nullen?
Antwort: siehe Gesetz (1), Folgerung
Nach p aufgelöst:
p = { (bxc) v } / {bxc) a } = - 20 / 20 = - 1
Multipliziere beide Seiten der Gleichung des gegebenen Ansatzes
skalar mit dem Vektorprodukt (c x a)
Es entsteht
(c x a ) . v = 0 + q (cxa) b + 0
woher kommen die Nullen?
Antwort: siehe Gesetz (1), Folgerung
Nach q aufgelöst:
q = { (cxa) v } / {(cxa) b } = 40 / 20 = 2
Ergebnis:
v = - a + 2 b - 3 c.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megaamth |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4824
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 16:00: |
|
Hi allerseits
Wir notieren noch die allgemeine Formel für die Zerlegung
eines Vektors v in Komponenten parallel gegebener,
linear unabhängiger Vektoren a, b, c.
Die Formel lässt sich nach dem Muster meines letzten Beitrags
leicht herleiten.
Das Ergebnis lautet und spricht per se:
v = {(bxc) v} / {bxc) a} a +{(cxa) v} / {(cxa) b} b +
{(axb) v} / {(axb) c} c
NB
Die Nenner sind alle gleich und nicht null; Letzteres wegen der
linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren a,b,c.
Es ist ja [b,c,a]= [c,a,b] = [a,b,c]
Schafft man die Nenner weg und vertauscht noch ein wenig
zyklisch, so erhält man die Darstellung
[a,b,c] v = [v,b,c] a + [a,v,c] b + [ a,b,v] c
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist die Formel von Cramer in neuem Gewand.
Die Identität gilt in jeder Basis!
Korrolar:
Vier Vektoren des R3 sind stets linear abhängig
Damit hat sich der Kreis in dieser Angelegenheit geschlossen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1161
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 20:10: |
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einen Nachtrag zum Spatprodukt:
es gilt für die 3 Vektoren a, b, c folgende Beziehung
|( a x b ) * c| <= |a|*|b|*|c|
bei Gleichheit handelt es sich um ein sogenanntes orthogonales 3bein und der Span ist dann ein Quader;
Zur Berechnung des Spatprodukts:
(a x b) * c
man schreibt die 3 Vektoren a,b,c in dieser Reihenfolge als Spalten einer 3x3 Matrix und bestimmt von dieser die Determinante [Regel von Sarrus];
(Beitrag nachträglich am 02., März. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 20:16: |
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danke, danke! dass ist ja mehr als eine Antwort! Ich werde erst sehen, ob ich das alles verstehe!
leo |
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