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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 485
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 16:08: | 
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hallo,
ich möchte mal wissen, wie man errechnen kann(sehen kann), ob eine funktion integrierbar ist! wir sollen nämlich ansonsten nach taylor entwickeln, aber ich weiss nicht, wie ich das sehen kann, ob eine integration möglich ist!?!?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1747
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 16:22: |
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Hallo Detlef
Soweit ich weiß kann man nicht so leicht sehen ob eine Funktion integrierbar ist(integrierbar ist hier eigentlich der falsche Ausdruck. Man sollte besser fragen, wann sich die Stammfunktion als Komposition elementarer Funktionen darstellen lässt). Es gibt einen Algorithmus dafür, der aber sehr lang und wohl auch sehr kompliziert ist.
Es gibt allerdings ein paar Funktionen von denen du wissen solltest, dass sie "nicht integrierbar" sind. Zum Beispiel
e(axn) mit a¹0 und n³2 oder
sin(x)/x.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 486
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 16:29: |
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hmm gibt es auch nicht irgendwelche sätze, die die integrationsfähigkeit zeigen?
woran sieht man, dass diese funktionen nicht integreierbar sind?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1748
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 16:53: |
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Hallo
hmm gibt es auch nicht irgendwelche sätze, die die integrationsfähigkeit zeigen?
Es gibt Sätze, die dir sagen, wann Funktionen integrierbar sind. Zum Beispiel ist jede stetige Funktion integrierbar. Es wird aber keine Aussage darüber gemacht, ob sich die vorhandene Stammfunktion als Summe vom elementaren Funktionen darstellen lässt.
Ich denke auch nicht, dass es einen einfachen Satz gibt, der darüber eine Aussage macht. Ich kenne jedenfalls keinen.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 487
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 17:03: |
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naja das die funktion dann vllt nicht als reihe darstellbar ist, ist egal! ich möchte einfach wissen, woran man erkennt, dass die funktion:
e^(ax^n) mit a ungleich 0 und n>=2 oder
sin(x)/x
nicht integrierbar ist...?
wie heißt der lange algorithmus?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1749
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 17:20: |
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Hallo
ich möchte einfach wissen, woran man erkennt, dass die funktion:
e^(ax^n) mit a ungleich 0 und n>=2 oder
sin(x)/x
nicht integrierbar ist...?
Das kann ich dir leider auch nicht sagen. In den Büchern, die ich kenne, steht immer nur, dass es so ist.
wie heißt der lange algorithmus?
Ich glaube er heißt Rich-Algorithmus oder irgendwas in der Art. Ich meine auch, dass hier im Forum vor längerer Zeit mal ein Link zu dem Algorithmus stand.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 488
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 17:33: |
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hmm ich suche mal...
woher wussteste aber z.b. das sin(x)/x nicht möglcih ist?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1154
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 17:40: |
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sin(x)/x ergibt den sogenannten Integralsinus, steht in jedem Tafelwerk (des was taugt)
INT sin(x)/x dx = Si(x)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 17:45: |
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ui und was sagt mir das?
hast du noch eine idee wegen integrierbarkeit?
detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1265
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 18:26: |
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Hi Detlef,
die Integrierbarkeit ist so schwirig zu erklären,
weil es verschiedene "Integrierbarkeitsbegriffe" gibt.
Es gibt da einmal die "Regelfunktionen" oder in der Schule lernt man auch noch das "Cauchy Riemann- Integral" kennen.
An der Uni kommen dann noch höhere Integrierbarkeitstufen hinzu z. B. das
"Lebesgue Integral" oder das "Bochner Integral" oder "Kurzweil Hanstock Integral"
Jeder Begriff erweitert den Bereich der Integrierbaren Funktionen. Es gibt also Funktionen
die Lebesgue Integrierbar sind aber nicht Riemann Integrierbar sind.
Die einzelnen Sätze hängen natürlich auch den zu
Grunde gelegten Integrierbarkeitsstufen ab.
Außerdem muss man genau den Begriff "Integrierbarkeit" trennen von der Aussage
"eine Funktion besitzt eine Stammfunktion".
Funktionen können durchaus - wie Christian schon sagte- integrierbar sein, brauchen aber keine Stammfunktion besitzen.
Was willst du eigentlich also genau wissen?
Gruß N. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1155
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 18:27: |
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INT sqrt(tan(x)) dx ist eines der am schwierigsten vollständig analytisch bestimmbaren Integrale: http://www.mathdraw.de/md.php?input=%282%2Aarctan%28%282%2Asqrt%28tan%28x%29%29-sqrt%282%29%29%2Fsqr t%282%29%29%2B2%2Aarctan%28%282%2Asqrt%28tan%28x%29%29%2Bsqrt%282%29%29%2Fsqrt%282%29%29%2Bln%28abs% 28%28sqrt%28tan%28x%29%29%5E2-sqrt%282%2Atan%28x%29%29%2B1%29%2F%28sqrt%28tan%28x%29%29%5E2%2Bsqrt%2 82%2Atan%28x%29%29%2B1%29%29%29%29%2F%282%2Asqrt%282%29%29%05%06
Man siehts den Integralen nicht an, ob sie vollständig analytisch bestimmbar sind oder nicht;
INT x^x dx sieht trivial aus, kann aber nicht vollständig analytisch bestimmt werden;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 490
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 12:03: |
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also ich meine mit integrierbar, ob die funktion eine stammfunktion hat, um eine fläche zu berechnen und das so ca. auf lk 13 niveau! *G*
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1159
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 13:50: |
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Na dann entspricht diese Sicht genau dem:
integrierbar <=> vollständig analytisch bestimmbar
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1753
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 14:10: |
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Hallo
also ich meine mit integrierbar, ob die funktion eine stammfunktion hat, um eine fläche zu berechnen und das so ca. auf lk 13 niveau! *G*
Erstmal nochmal zu den Begrifflichkeiten. In der Regel sind in der Schule alle Funktionen stetig(bis auf endlich viele Unstetigkeitsstelle). Damit sind sie auch integrierbar und besitzen eine Stammfunktion. Beispiel:
Ist f stetig, so ist F(x):=òa x f(t) dt eine Stammfunktion von f(Mittelwert der Differential- und Integralrechnung).
Das was du jetzt wissen willst ist, ob sich diese Funktion F irgendwie schreiben lässt als Zusammensetzung der Funktionen 1, x , sin(x), cos(x), ex, ln(x) usw., den sogenannten elementaren Funktionen. Und ich behaupte weiterhin, dass es keine einfache Methode gibt zu sehen, wann das möglich ist.
Du solltest dir also ein paar Funktionen(die wichtigsten stehen hier) merken, deren Stammfunktion sich nicht zusammensetzen lässt aus elementaren Funktionen.
Im übrigen ist das mit den "elementaren" Funktionen ohnehin etwas willkürlich. Die Frage ist halt, wann man eine Funktion als elementar ansieht. Die Werte von der e-Funktion kennt man im wesentlichen auch nur aus ihrer Reihenentwicklung. Von diesem Standpunkt aus ist die e-Funktion nicht elementarer als zum Beispiel die Funktion ò0 x sin(t)/t dt .
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 491
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 19:30: |
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hmm...ok, dann versuch ich mal die wichtigsten herauszusauchen...
welche gibt es denn mit e^x und sin(x) ??
stetig ist eine funktion, wenn sie einen funktionswert hat?
detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1268
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 20:19: |
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Hi Detlef,
jo mach dir am besten eine Tabelle...
stetig ist eine funktion, wenn sie einen funktionswert hat?
Oh Gott, Nein!!!
Beispiel:
die Dirchlet Funktion:
f: IR->IR x->1 fals x in Q; 0 sonst
die Funktion ist überall definiert aber nirgends stetig!!!
Gruß N.} |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 492
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 09:53: |
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wann ist sie dann stetig eine funktion?
detlef |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1271
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 13:05: |
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Hi Detlef,
tja, ds mit der Stetigkeit ist so eine Sache.
Da gibt es ein paar Technische Definitionen (epsilon- Delta und co).
Ich weis nicht was ich voraussetzen darf. Habt ihr im LK noch nichts von Stetigkeit gehört??
es ist halt so das Stetige Funktionen von einer Menge X (hier also IR) nach IR also die Menge
C(x,IR):={f: X->IR | f auf X stetig} einen Ring bilden. das heist Summen, Differenzen Produkte und Quotieenten (falls Divisor natürlich nicht Null ist) stetiger Funktionen wieder stetig sind. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1757
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 13:35: |
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Hallo Detlef
Zunächst einmal etwas anschaulicher, was Stetigkeit prinzipiell bedeutet:
Wenn du den Graphen einer Funktion zeichnen kannst ohne den Stift absetzen zu müssen, so ist die Funktion stetig. Zum Beispiel kannst du das bei einer Parabel machen oder bei der sinusfunktion usw.
Man könnte es auch so beschreiben wie unser Professor: Eine Funktion ist stetig, wenn sie einem "unzerissenen Zwirnsfaden" gleicht.
Nun mal eine richtige Definition. Das hatte Niels ja schon angedeutet(epsilon-delta).
f sei eine Funktion von IR in IR. Dann heißt die Funktion f im Punkt a stetig, wenn es zu jedem e>0 ein d>0 gibt mit |f(x)-f(a)|<e für |x-a|<d.
Die Funktion heißt stetig auf IR oder einfach stetig, wenn sie in jedem Punkt aus IR stetig ist.
Wenn du dir das mal aufmalst, siehst du, dass die Definition im Einklang mit den obigen anschaulichen Dingen steht. Es ist aber auch klar, dass es nicht besonders leicht ist mit dieser Definition die Stetigkeit von Funktionen zu überprüfen. Von daher solltest du dir einfach merken, dass die ganz "normalen" Funktionen wie 1,x,ex,log(x),sin(x),cos(x) usw. stetig sind.
Dann kannst du mit den Regeln, die Niels beschrieben hat, schon einen großen Teil von Funktionen als stetig ansehen.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 15:15: |
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ok, vielen dank! wir hatten das noch nicht so wirklich besprochen!
danke!
detlef |
