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Leo_sommer (Leo_sommer)
Neues Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 16:29: | 
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Hi @all:
bei dieser Aufgabe komme ich nicht recht weiter:
Gegeben ist eine Kugel K mit Radius r=3 und dem Mittelpunkt M (4; 3; 0).
Die Punkte A (10; 6; 0), B ((19; 0; 0), C (24; 26; 0) und S (4; 10; 20)
bestimmen eine schiefe dreiseitige Pyramide mit der Spitze S.
a) P (2; 2; z) mit z>0 ist ein Punkt auf der Kugeloberfläche von K.
Gesucht ist P sowie die Tangentialebene E in P an K.
b) Die Tangentialebene schneidet der Pyramide eine Spitze A*B*C*S ab,
deren Volumen zu berechnen ist!
Ich bedanke mich für eure Hilfe!
leo |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Neues Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:17: |
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P habe ich natürlich gefunden: P (2; 2; 2).
Die Tangentialebene finde ich mit der Formel:
x*x1+y*y1+z*z1=r^2
Aber mein Kollege hat das anders berechnet und bekommt für die Ebene: 2x+y-2z=2. Nun frage ich mich, warum das so ist!
mfG
leo |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Neues Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:32: |
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... was ja ein Unsinn ist:
denn ich habe ja nicht eine Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung! Also das wäre zumindest geklärt!
Trotzdem freu ich mich über weitere Hilfe!
leo |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4803
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:34: |
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Hi Leo
P ist richtig.
Der Kollege hat richtig gerechnet
Du bist von einer falschen Tangentialebenengleichung aus gegeangen!
Beachte: der Mittelpunkt der Kugel
fällt nicht mit dem Nullpunkt zusamnmen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4805
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 06:47: |
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Hi Leo
Am einfachsten ermittelst Du die gesuchte Ebene E als Normalebene
zum Vektor MP = {4-2; 3-2; 0-2) = {2;1;-2]
Die Ebenengleichung lautet daher:
2 x + y – 2 z = d.
Da E durch P gehen muss, gilt d = 2 *2 + 2 – 2 * 2 = 2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4806
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 10:06: |
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Hi Leo
In diesem Abschnitt geht es darum, die Schnittpunkte A*, B*, C*
der Kanten ga = SA, gb = SB, gc =SC des gegebenen Tetraeders
S. ABC mit der Ebene E zu bestimmen.
Schön der Reihe nach:
Richtungsvektor a = SA von ga:
a = {6;-4;-20} = 2 {3;-2 ; -10}
Parameterdarstellung von ga (S als Aufpunkt ):
x = 4 + 3 t ; y = 10 – 2 t ; z = 20 – 10 t
Ermittlung des Schnittpunktes gaga mit E
Einsetzen in die Ebenengleichung 2 x + y – 2 z = 2 gibt
den t-Wert t = 1 und damit den Schnittpunkt
A*(7/8/10)
Richtungsvektor b = SB von gb:
b = {15;-10;-20} = 5 {3;-2 ; -4}
Parameterdarstellung von gb (S als Aufpunkt ):
x = 4 + 3 t ; y = 10 – 2 t ; z = 20 – 4 t
Ermittlung des Schnittpunktes gb mit E
Einsetzen in die Ebenengleichung 2 x + y – 2 z = 2 gibt
den t-Wert t = 2 und damit den Schnittpunkt
B*(10/6/12)
Richtungsvektor c = SC von gc:
c = {30;16;-20} = 4 {5;4 ; -5}
Parameterdarstellung von gc (S als Aufpunkt ):
x = 4 + 5 t ; y = 10 + 4 t ; z = 20 – 5 t
Ermittlung des Schnittpunktes gc mit E
Einsetzen in die Ebenengleichung 2 x + y – 2 z = 2 gibt
den t-Wert t = 1 und damit den Schnittpunkt
C*(9/14/15)
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4807
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 13:37: |
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Hi Leo
Dieser Beitrag dient bloß dazu, die Koordinaten der drei
Punkte A*, B*, C* zu überprüfen, indem
wir die erste Spur der Ebene E als Testorgan einsetzen.
Die erste Spur e1 der Ebene E ist die Schnittgerade
dieser Ebene mit der (x,y)-Koordinatenebene.
Wir erhalten die Gleichung von e1, indem wir in der
Gleichung von E z = 0 setzen.
Somit gilt:
e1: 2 x + y = 2 ; z = 0.
Auf dieser Geraden müssen die drei ersten Spurpunkte
U , V , W der drei Geraden A*B*, B*C*, C*A* liegen.
Pro memoria: der erste Spurpunkt einer Geraden ist ihr
Schnittpunkt mit der (x,y)-Ebene.
Man erhält nach kurzer Rechnung die Spurpunkte
U(-8/18/0) als Spurpunkt von A*B*
V(14/-26/0) als Spurpunkt von B*C*
W(3/-4/0) als Spurpunkt von C*A*
Bravo:
Alle drei Punkte U,V,W liegen auf e1!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 14:43: |
|
Hallo, Megamath, das ist ja ganz schön tricky! Ich habe jetzt lange überlegt, weiß aber nicht, wie du auf U, V und W kommst, diese kurze Rechnung versteh ich nicht!
Danke und bitte um weitere Hilfe!
leo |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4809
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 15:10: |
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Hi Leo
Bevor wir mit der Lösung Deiner Aufgabe weiterfahren,
eine Rückfrage meinerseits:
welche Methoden zur Berechnung des Volumens
eines Tetraeders stehen Dir zur Verfügung ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 15:19: |
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Hi, für das Volumen nehmen wir die ganz normale Volumsformel, oder auch das Vektorprodukt. Nur komme ich noch immer nicht zu den Spurpunkten...
leo |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4810
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 17:07: |
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Hi Leo
Mein Beitrag mit den Spurpunkten war ein Intermezzo!
Da Du aber doch daran Interesse hast, komme ich kurz
darauf zurück.
Ich berechne den (ersten) Spurpunkt U der Gerade u.
Die Gerade u ist durch die Punkte
A*(7/8/10) und B*(10/6/12) bestimmt.
Der Verbindungsvektor A*B* = {3;-2; 2} dieser Punkte
gibt einen Richtungsvektor, A* sei der Aufpunkt.
Dann hat u die Parameterdarstellung (t sei Parameter,
skalare Schreibweise):
x = 7 + 3 t ; y = 8 – 2 t ; z = 10 + 2 t
Die z – Koordinate des ersten Spurpunktes U ist null;
dies trifft zu für den Parameterwert t = - 5.
Dieser Wert erzeugt den x-Wert - 8, den y-Wert 18
Daher das Ergebnis U(-8/18/0)
Analoge Rechnungen finden zur Ermittlung
der Spurpunkte V und W statt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4811
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 17:13: |
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Hi Leo
Zum Abschluss der Lösung ist das Volumen V
des Tetraeders mit den Ecken S A*B*C* zu berechnen.
Ich habe das Ergebnis V = 44 erhalten.
Kannst Du das rechnerisch bestätigen?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 19:56: |
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Hallo und vielen Dank, wir haben das nun auch raus bekommen!
viele Grüße
leo |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4812
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 20:11: |
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Hi Leo
Es gibt unter den Fans dieses Forums vielleicht
Leser,die die Berechnung des Volumens eines Tetraeders mitverfolgen möchten,en détail.
Ich werde meine Version morgen vorstellen.
Könntet Ihr Eure Lösung auch gelegentlich präsentieren? Vielen Dank im Voraus!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4815
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 14:04: |
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Hi Leo
Damit Ihr mir mit Eurer Lösung nicht zuvorkommt,
folgt nun die Berechnung des Volumens V des
Tetraeders S A*B*C*, wobei gilt:
S (4 / 10 / 20)
A*(7/8/10) , B*(10/6/12) , C*(9/14/15).
Wir bestimmen die Kantenvektoren
a* = SA* = {3; - 2 ; - 10}
b* = SB* = {6; - 4 ; - 8}
c* = SC* = {5; 4 ; - 5}
Wir berechnen das Vektorprodukt p = a* x b* ;
Ergebnis: p = {-24; -36; 0 }
Wir multiplizieren den Vektor p skalar mit c* ;
Ergebnis: s = p . c* = - 120 – 144 = - 264
Dieses Ergebnis s ist das so genannte gemischte Produkt
der drei Vektoren a*, b* , c* in dieser Reihenfolge der
Vektoren; Schreibweise:
s = [a*, b*, c*] = (a* x b*) . c*
Geometrisch stellt s das (mit Vorzeichen versehene)
Volumen des von den Vektoren a*, b*, c* aufgespannten
Parallelepipeds (Spatvolumen).
Das gesuchte Tetraedervolumen ist der sechste Teil
des Spatvolumens.
Indem wir das negative Vorzeichen ignorieren,
erhalten wir für das gesuchte Volumen:
V = 1/6 * 264 = 44.
Die Vorzeichenangelegenheit ist eine Geschichte für sich!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Leo_sommer (Leo_sommer)
Junior Mitglied
Benutzername: Leo_sommer
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 18:42: |
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vielen Dank!
wir haben es schlußendlich auch so gemacht, aber die Vektoren von A* aus bestimmt, was ja genau so gut geht! Auf jeden Fall ergibt sich dasselbe Ergebnis!
viele Grüße
Leo |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4817
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 19:57: |
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Hi Leo
Da bin ich ganz Deiner Meinung!
MfG
H.R.Moser,megamath |
