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Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 14:22: | 
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hallo,
bitte könnte mir jemand dabei helfen:
Es seien A (1; 1; 1) und B (0; -1; 1), und E die Ebene, die den Ursprung, sowie A und B enthält.
Man bestimme einen Punkt C auf der Geraden durch den Ursprung, die senkrecht zur Ebene E verläuft so, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C den Flächeninhalt
F=sqrt(63/2) hat.
Dank und Gruß
Theresia |
Analysist (Analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist
Nummer des Beitrags: 334
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 14:59: |
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Hallo,
E: r(1;1;1)+s(0;-1;1)=0
Bringe Die Ebenengleich zunächst auf Normalenform.
(1;1;1)X(0;-1;1)=(2;-1;-1)
NF: (2;-1;-1)*x=0
Die Gerade, die senkrecht zur Ebene verläuft, hat den Normalenvektor als Richtungsvektor.
g: x=t(2;-1;-1)
Der Punkt C hat also die Form (2c;-c;-c)
Flächeninhalt des Dreiecks ist 1/2 /(C-A)X(B-A)/
C-A=(2c-1;-c-1;-c-1)
B-A=(-1;-2;0)
(C-A)X(B-A)=(-2c-2;c+1;-5c-3)
/(-2c-2;c+1;-5c+1)/=63
sgrt(4c^2+8c+4+c^2+2c+1+25c^2-10c+1)=63
sqrt(30c^2+6)=63
30c^2+6=3969
c^2=3963/30=132,1
c=+-11,493
Gruß
Peter |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4797
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:08: |
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Hi Theresia
Zuerst stellen wir eine Koordinatengleichung der Ebene E auf,
welche durch die drei Punkte O,A, B bestimmt ist.
Das ist eine Routineaufgabe. Kannst Du sie lösen?
Das Resultat lautet E: 2 x – y – z = 0.
Wir entnehmen der Gleichung den Normalenvektor
n = {2;-1;-1}.
Die Gerade g durch den Nullpunkt, welche auf E senkrecht steht,
hat somit die Parameterdarstellung
x = 2 t ; y = - t ; z = - t.
Auf g ist nun ein Punkt C so zu ermitteln, dass das Dreieck ABC
den gegebenen Flächeninhalt hat.
Dies soll in einer Fortsetzung dieses Beitrags geschehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4798
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:14: |
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Hi Analysist
Ich habe übersehen,dass Du die Lösung der
Aufgabe schon im Kasten hast.
Sehen wir zu,ob am Schluss wir beide dasselbe,natürlich richtige Resultat haben!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:16: |
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o seid ihr rasch mit Antworten, danke!
ich schau mir das gleich einmal an!
theresia |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:30: |
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Peter,
Du hast die Wurzel und das 1/2 verloren!
Ich habe für den Punkt C die beiden Ergebnisse:
C1 (4; -2; -2)
C2 (-4; 2; 2)
liebe Grüße
elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4799
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:32: |
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Hi Theresia
Ja,wir sind beide gut,haben aber nicht dasselbe
Schlussresultat!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4800
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:37: |
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Hi Elsa,
Du erscheinst als rettender Engel!*
und als Schiedsrichterin!*
Dein Resultat stimmt mit dem menigen überein.
Willst Du die Herleitung noch zeigen?
Mfg nach Wien
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 15:49: |
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Da ich unter Zeitdruck bin,
lasse ich Dir nur gar zu gerne den Vortritt!
liebe Grüße aus Wien
elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4801
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 16:00: |
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Hi Elsa
Ich übernehme diese Aufgabe gerne.
Ich muss aber zuerst eine längere Pause einlegen,
damit ich mit meinem Hund im Schnee herumtollen kann.
MfG
HR |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4802
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:06: |
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Hi Theresia
Endlich kommt Deine Aufgabe zu ihrer fertigen Lösung!
Der Punkt C hat, wie wir feststellten, in Abhängigkeit des Parameters t,
die Koordinaten
xC = 2 t ; yC = – t ; zC = - t.
Wir benützen die folgende Tatsache.
Der Flächeninhalt F des Dreiecks ABC stimmt mit dem halben Betrag des Vektorprodukts der Vektoren u = AB und v = Ac überein.
Wir bestimmen der Reihe nach:
u = AB ={-1;-2; 0}
v = AC = {2 t -1; - t -1; 5 t - 1}
Vektorprodukt w = u x v = {2 t + 2 ; t+1; 5 t – 1 }
Quadrat Q des Betrages von w, gehörig vereinfacht:
Q =[abs(w)]^2 = 30 t^2 + 6;
Nach dem Aufgabentext gilt
Q / 4 = 63/2
Es folgt Q = 126.
Daraus entspringt die Gleichung in t:
t^2 = t
t1 = 2 führt auf den Punkt C1 (4/-2/-2)
t1 = -2 führt auf den Punkt C2 (-4/2/2)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:37: |
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Danke sehr, Megmath! Ist alles sehr logisch!
In der vorvorletzten Zeile sollte es wahrscheinlich heißen: t^2=4.
Danke nochmals!
theresia |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4804
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:48: |
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Hi Theresia
Ja,so sollte es heissen!
Du bist eine aufmerksame Leserin,die meine Tippfehler schnell erkennt.
MfG
H.R.Moser,megamath |
