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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 471
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 18:16: | 
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durch die gleichung f(x)=x²(x²-c²) ist eine kurvenschar gegeben. welche gleichung hat die kurve der schar, deren tiefpunkte auf den winkelhalbierenden des koordinatenkreuzes liegen?
also ich versteh das überhaupt nicht...muss die ortslinie y= x sein ??
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1319
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 19:25: |
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Es gibt 2 Winkelhalbierende, die andere ist y = -x. Die Ortslinie aller Minima ist mit diesen Medianen zu schneiden, besser: Jene Minima zu suchen, deren x- und y- Werte entweder gleich oder entgegengesetzt gleich sind.
f(x) = x^4 - (c^2)*(x^2)
f '(x) = 4(x^3) - 2(c^2)*x
f ''(x) = 12(x^2) - 2(c^2)
f '(x) = 0
»»
2x*(2x^2 - c^2) = 0
x1 = 0; x2 = c/sqrt(2)
f ''(x1) = - 2c^2 < 0 .. bei x1 Max.
f ''(x2) = 6c^2 - 2c^2 = 4c^2 > 0 .. bei x2 Min.!
yc = f(c/sqrt(2)) = (c^2)/2*((c^2)/2 - c^2) = - (c^4)/4
Alle Minima haben demzufolge die Koordinaten
Tc( c/sqrt(2) | - (c^4)/4 )
mit c <> 0 (wegen x <> 0, denn bei x = 0 ist ein Max.)
Wir setzen nun entweder xc = yc oder xc = -yc:
c/sqrt(2) = -/+ (c^4)/4
4c +/- (c^4)*sqrt(2) = 0
c*(4 +/- (c^3)*sqrt(2)) = 0
»»
c^3 = -/+ 4/sqrt(2)
c^3 = -/+ (sqrt(2))^3
c = -sqrt(2) oder c = sqrt(2)
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Weil c in f(x) nur quadratisch vorkommt, gibt es nur eine bestimmte Kurve, deren Gleichung lautet
f(x) = (x^2)*(x^2 - 2) = x^4 - 2*(x^2)
Die Minima haben die Koordinaten (1|-1) bzw. (-1|-1)
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 472
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 19:35: |
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hallo, danke,
aber ich habe die theorie noch nicht verstanden! also die minima müssen auf den winkelhalbierenden sein:
das ist noch klar:
yc = f(c/sqrt(2)) = (c^2)/2*((c^2)/2 - c^2) = - (c^4)/4
aber was ist nun mit :Jene Minima zu suchen, deren x- und y- Werte entweder gleich oder entgegengesetzt gleich sind, gemeint?
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1321
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 20:30: |
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:Jene Minima zu suchen, deren x- und y- Werte entweder gleich oder entgegengesetzt gleich sind:
Diese Forderung ist identisch mit den Gleichungen der beiden Mediane (Winkelhalbierenden der Quadranten):
m1: y = x
m2: y = -x
Alle Punkte, die auf diesen liegen, haben eben die Eigenschaft, dass entweder y = x oder y = - x ist.
Es kommt auch auf dasselbe hinaus, wenn du die Ortslinie aller Minima mit diesen Geraden schneidest.
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 473
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 20:37: |
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axo..alles klar! vielen dank, habe das nun verstanden!
detlef |
