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Hamburger (Hamburger)
Neues Mitglied
Benutzername: Hamburger
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2005 - 17:30: | 
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1. an die ellipse x^2+2y^2=36 ist parallel zur geraden y=-1/4x die tangente zu legen, deren berührpunkt im 1. quadranten liegt. wie lautet die gleichung der hyperbel in 1.hl, die die ellipse in diesem punkt rechtwinkelig schneidet?
kann mir jemand bitte erklären wie ich vorgehen soll, wie ich wo was einsetze usw. ich möchte nämlich zuerst versuchen es selbst zu lösen, wenn ichs nicht schaff, könnt ihr mir dann die lösung bitte verraten?
2. an die kurven x^2+4y^2=100 und 16x^2-27y^2=144 sind in deren im 1.quadranten liegenden schnittpunkt die tangenten zu legen. wie groß ist das volumen des doppelkegels, der bei der rotation der tangenten um die x-achse entsteht?
bei diesem beispiel auch bitte erst erklären was ich da genau machen soll. danke im voraus! |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1137
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2005 - 17:57: |
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Aufgabe 1
x^2 + 2y^2 = 36
mittels impliziter Differentiation bekommt man die "Steigungsgleichung" jedes beliebigen Ellipsenpunktes
2x + 4y*y' = 0
y = -1/4x => y' = -1/4
2x - y = 0 <=> y = 2x
das jetzt rein in die Ellipsengleichung
x^2 + 2(2x)^2 = 36
9x^2 = 36
x = +/- 2, weils im 1ten Quadranten sein muß, fällt die -Lsg. weg.
der Tangentenpunkt lautet daher T(2|4)
analoges jetzt bei der Hyperbel
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2x/a^2 - 2y*y'/b^2 = 0
steigung -1/4 ist zur steigung 4 orthogonal, daher ist hier das y' = 4
2x/a^2 = 8y/b^2
x*b^2 = 4y*a^2
x = 2, y = 4
2b^2 = 16a^2
b^2 = 8a^2 <-- das in die allgemeine hyperbelgleichung einsetzen
x^2/a^2 - y^2/(8a^2) = 1
8x^2 - y^2 = 8a^2
x = 2, y = 4
32 - 16 = 8a^2
16 = 8a^2
a^2 = 2 => b^2 = 16
daher lautet die Hyperbelgleichung:
x^2/2 - y^2/16 = 1 oder 8x^2 - y^2 = 16
Ausgabe 2:
beide Kurven schneiden, beide Gleichungen z.B. auf y^2 = ... umformen
I: y^2 = 25 - x^2/4
II: y^2 = 16/27*x^2 - 144/27
=> 25 - x^2/4 = 16/27*x^2 - 144/27
auch hier gilt, die negative Lsg. fällt weg, weil es im 1ten Quadranten sein soll;
diesen Schnittpunkt in die "Steigungsgleichung" der beiden Kurven einsetzen, mit der Steigung die beiden Tangenten errichten;
der Doppelkegel verläuft von Schnittpunkt mit der x-Achse der einen Tangente bis zum anderen Schnittpunkt mit der x-Achse von der anderen Tangente;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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