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Beitrag |
    
Steffichen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2005 - 14:43: | 
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Hallo zusammen!
Also... Hab das Problem, dass ich net weiß, wie ich bei einer Funktion mit Parametern die Extrempunkte berechnen kann... Ja, klar, erste Ableitung gleich Null setzen...
Die Aufgabe heißt:
UNTERSUCHE DIE FUNKTION IN ABHÄNGIGKEIT VON k AUF EXTREMPUNKTE.
außerdem:
BESTIMME DIE ZUGEHÖRIGEN ORTSLINIEN!
(k ist Element aller rationalen Zahlen!)
f(x)=
2x³+x²-4kx-3k
--------------- (soll der Bruchstrich sein!)
x^4
Erste Ableitung müsste
f'(x)=
-2 * ( x³+x²-6kx-6k)
-----------------------
x^5
Wär super lieb, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!!
DAAANKE! |
Michael_h (Michael_h)
Mitglied
Benutzername: Michael_h
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2005 - 21:18: |
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Hallo Steffi,
die erste Ableitung stimmt
eigentlich sollte die 2. Ableitung noch bestimmt
werden, damit ausgeschlossen werden kann, dass es sich um Wendepunkte mit waagrechter Tangente handelt, die dann keine Extrempunkte sind
also Extrempunkte nur wenn f'=0 und f''ungleich 0
nun die Extrempunkte in Abhängigkeit von k:
f'(x)=0
Zähler=0
x³+x²-6kx-6k=0
ausklammern von x nur möglich wenn k=0
daher erste Lösung durch Probieren und dann Polynomdivision durch (x-Lösung):
x1=-1
x³+x²-6kx-6k : (x+1) = x²-6k
weitere Lösungen (Rest=0)
x²=6k
k=0 => x2=x3=0 nicht Element von Definitionsmenge
k>0 => x2=+Wurzel(6k) x3=-Wurzel(6k)
k<0 => keine Lösung für x2 und x3
für alle k:
y1 = f(-1) = k-1
für k=0:
y2=y3 = f(0) = nicht definiert wegen Nenner=0
nur für k>0:
y2 = f(Wurzel(6))
y3 = f(-Wurzel(6))
also 3 Extrempunkte für k>0
ein Extrempunkt für k<=0 |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 466
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2005 - 00:23: |
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@Michael_h: du hast es zwar erst richtig berechnet, aber dann unten falsch aufgeschrieben. Die Extrempunkte lautet:
E1(-1|k-1)
E2(Wurzel(6k)|(8*Wurzel(6k)+3)/(36k))
E3(-Wurzel(6k)|(-8*Wurzel(6k)+3)/(36k))
Ortskurve von E1:
x=-1
y=k-1
in x ist kein k mehr enthalten --> keine Ortskurve
Ortskurve von E2:
x=Wurzel(6k)
y=(8*Wurzel(6k)+3)/(36k)
k=x²/6
y=(8x+3)/(6x²)
Ortskurve von E3:
x=-Wurzel(6k)
y=(-8*Wurzel(6k)+3)/(36k)
k=x²/6 und x<=0
y=(-8x+3)/(6x²)
mfG
Tux
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Steffichen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2005 - 09:52: |
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Danke!!!
Hab aber noch eine Frage!
Wie prüfe ich denn, ob es eine STelle gibt, an der alle Funktionsgraphen die selbe Steigung haben? |
Michael_h (Michael_h)
Mitglied
Benutzername: Michael_h
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2005 - 15:35: |
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gleiche Steigung => erste Ableitung ist gleich
k1 ungleich k2
f'_k1(x) = f'_k2(x) k1,k2 soll tiefgestellter Index sein
-2(x³+x²-6k1*x-6*k1)/x^5=-2(x³+x²-6k2*x-6*k2)/x^5
(x³+x²-6k1*x-6*k1)=(x³+x²-6k2*x-6*k2)
x³+x²-6k1*x-6*k1=x³+x²-6k2*x-6*k2 |-x³-x²
-6k1*x-6*k1=-6k2*x-6*k2 |:6
-k1*x-*k1=-k2*x-k2 |+k2*x+*k1
k2*x-k1*x = k1-k2
(k2-k1)x = k1-k2
(k2-k1)x = -(k2-k1)
aufgrund der Vorraus. k2 ungleich k1 (und somit k2-k1 ungleich 0) kann durch k2-k1 dividiert werden:
x = -6
d.h. alle Funktionen der Schar haben bei x=-1
die gleiche Steigung f'(-1) |
Steffichen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2005 - 16:55: |
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Zu der gleichen Funktion soll ich auch noch den Flächeninhalt der von den Graphen von f mit k=0 und f mit k=-1 eingeschlossenen Fläche berechnen...
Allerdings erhalte ich nur einen Schnittpunkt von den beiden Graphen und zwar x=-3/4
Was ist denn bei nur einem Schnittpunkt meine Intervallgrenze???
Liebe Grüße, Steffi |
Michael_h (Michael_h)
Mitglied
Benutzername: Michael_h
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2005 - 18:10: |
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Hallo Steffi,
x=-3/4 hab ich auch als x-Wert des (einzigen) gemeinsamen Punktes von K_0 und K_-1
da bei beiden Funktionen der Zählergrad (höchste Potenz von x im Zähler hier beidesmal 3) kleiner ist als der Nennergrad (höchste Potenz von x im Nenner hier beidesmal 4) ist die x-Achse Asymptote für x gegen unendlich (+ und -)
bei der durch die beiden Graphen eingeschlossenen Fläche handelt es sich um ein uneigentliches Integral von -unendlich bis -3/4
da man damit nicht rechnen kann, setzt man zunächst u als untere Grenze und -3/4 als obere Integralgrenze
dann integriert man ganz normal, die Fläche ist dann von u abhängig
anschliessend berechnet man den Grenzwert für u gegen -unendlich
A(u)=Integral von u bis -3/4 (f_0(x)-f_-1(x))dx
(obere - untere Funktion, falls nicht bekannt welche oben ist, dann Betrag!)
A(u)=Integral von u bis -3/4 [(-4x-3)/x^4]dx
damit es einfacher zu integrieren ist, den Bruch zu einer Differenz aus 2 Einzelbrüchen umformen:
A(u)=Integr u bis -3/4 [(-4x)/(x^4)-3/(x^4)]dx
A(u)=Integr u bis -3/4 [(-4)/(x^3)-3/(x^4)]dx
Stammfunktion F(x)=2/x²+1/x³
A(u)=[2/(-3/4)²+1/(-3/4)³] - [2/u²+1/u³]
A(u)=32/9 - 64/27 - 2/u² - 1/u³
A(u)=32/27 - 2/u² - 1/u³
für u gegen -unendlich können die beiden Brüche mit u vernachlässigt werden, weil beide gegen 0 gehn, somit ist die Fläche A = 32/27 |
Steffichen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 15:46: |
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Kannst du bitte noch ma für Dumme wie mich erklären, wie du die Stammfunktion gebildet hast??
Also ich hab das so gemacht, dass ich das x^4 an alle Summanden im Zähler gebe... Aber dann ist da auch 4/x und x^-1 kann man meines erachtens nach net die Stammfunktion von bilden, oder?? |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 469
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 19:18: |
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fk(x)= (2x³+x²-4kx-3k)/x4
f0(x)=(2x³+x²)/x4=2/x+1/x²
f1(x)=(2x³+x²-4x-3)/x4=2/x+1/x²-4/x³-3/x4
Stammfunktion von f0(x):
ò 2/x+1/x² dx=ò 2/x+x-2 dx=ln(2x)-x-1=ln(2x)-1/x
bei f1(x) machst du es genauso -- einfach jedes einzelne Glied berechnen und dann mittels x-n das Integral bilden...
mfG
Tux
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