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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 447
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2005 - 18:00: | 
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hallo,
wie mache ich das bei folgender aufgabe:
Int(1-x²)^9 dx
also wenn ich das substituiere, dann wird das sehr kompliziert!
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1114
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2005 - 21:06: |
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wenn du was substituierst 
ich würd folgendes substituieren
-x^2 = t^2 + 2t => x = -sqrt(-t^2-2t) = -sqrt(1-(t+1)^2)
-2x dx = 2t + 2 dt
damit wird das Integral vorerst mal zu
INT (1+2t+t^2)^9 dx =
INT (1+t)^18 dx
dx = (t + 1)/(-x) dt = (1+t) / (-sqrt(-t^2-2t)) dt
damit dann schlußendlich zu
INT (1+t)^19 / (-sqrt(-t^2-2t)) dt =
-INT (1+t)^19 / sqrt(1-(t+1)^2) dt =
jetzt nochmal substituieren
t+1 = s
dt = ds
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds
des sollt dann gehen?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1115
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 00:09: |
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Nachtrag:
wobei einfach den Binomschen Lehrsatz anwenden, bzw. das Pascalsche Dreieck geht ruck-zuck
INT 1 - 9x^2 + 36x^4 - 84x^6 + 126x^8 - 126x^10 + 84x^12 - 36x^14 + 9x^16 - x^18 dx
= x - 3x^3 + 36x^5/5 - 12x^7 + 14x^9 - 126x^11/11 + 84x^13/13 - 12x^15/5 + 9x^17/17 - x^19/19 + C
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1735
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 10:38: |
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Hi,
hast du auch Grenzen gegeben? Man könnte das auch vielleicht auf Sinus oder Cosinus Rekursionsintegrale zurückführen...
mfg |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 449
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 12:03: |
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uiuiui..
wie kommste denn auf diese substitution? ich dachte da eher an u = 1-x² ?!?!?
ich habe keine grenzen! was sind rekursionsintegrale?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1116
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 15:13: |
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ka ahnung wie ma drauf kommt, vielleicht a Eingebung von oben 
mal Deinen Vorschlag verwenden:
u = 1 - x^2 => x = sqrt(1-u)
du = -2x dx
daher wird das ganze zu
INT u^9 * (-2sqrt(1-u)) du =
-2 * INT u^9 * sqrt(1-u) du
Was is schlußendlich einfacher?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4761
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 15:19: |
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Hi Detlef
Die Herren haben beide Recht.
Walter als bewährter Nachtarbeiter hat im Nachtrag
eine Stammfunktion angegeben, die in allen Teilen
richtig ist.
Auch die Methode liegt auf der Hand.
Wenn jedoch ex cathedra verlangt wird, dass man
substituieren soll, dann ist eine trigonometrische
Substitution zu empfehlen.
Setze x = cos t , dx = - sin t dt
Aus Deinem Integral wird dann
- int [( sin t ) ^19 * dt ]
Solche Integrale können mit Rekursionsformeln,
wie Ferdi erwähnt hat, auf analoge Integrale mit
niedrigeren Exponenten zurückgeführt werden.
Das ist eine andere, aber hochinteressante Geschichte.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Mose,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 451
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 16:01: |
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also ich meine, wie kommt man auf das
-x^2 = t^2 + 2t ??
und ist das richtig:
u = 1 - x^2 => x = sqrt(1-u)
du = -2x dx
daher wird das ganze zu
INT u^9 * (-2sqrt(1-u)) du =
-2 * INT u^9 * sqrt(1-u) du
? muss das nicht 1/(sqrt(1-u)) sein?
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4764
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 21:32: |
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Hi Detlef
Wie die Bemerkung bezüglich der rekursiven Bestimmung
gemeint ist, zeige ich Dir an der folgenden Rekursionsformel:
int [( sin x ) ^ n * dx ] =
- 1/n*(sin x)^(n-1)*cos x +(n-1)/n int [(sin x) ^ (n-2)*dx]
Im Gegensatz dazu steht die geschlossene Formel, die für
ungerade Exponenten im Integrand direkt das Schlussergebnis
liefert.
int [( sin x ) ^ (2m+1) * dx } =
- cos x * S(m)
S(m) ist die Summe
sum [{2^(2m-2k)*(m!)^2*(2k)!}/{(2m+1)*(k!)^2}*(sin x)^(2k)]
Der Summationsindex läuft von k = 0 bis k = m.
Für gerade Exponenten existiert eine analoge Formel.
Löst man Deine Aufgabe mit Hilfe der Methode von Mainzi
und arbeitet zugleich mit der von mir vorgeschlagenen
Substitution, so kann leicht gezeigt werden,
dass eine Stammfunktion F(x) mit f(x) = ( sin x ) ^ 19
als Integrand als ein reines Polynom 19-ten Grades in cos x
angeschrieben werden kann.
Darin stehen ausschließlich Potenzen in cos x mit allen
ungeraden Exponenten von 1 bis 19.
F (x) = - cos(x) + 3*cos(x)^3 -36/5 * cos(x)^5 +………………..
Analoges gilt für andere Exponenten.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1117
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 21:39: |
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Mal nachrechnen
u = 1 - x^2 => x = sqrt(1-u)
du = -2x dx
dx = du / (-2x)
dx = du / (-2sqrt(1-u))
daher wird das ganze zu
INT u^9 / (-2sqrt(1-u)) du =
-1/2 INT u^9 / sqrt(1-u) du
so is es richtig
mein Ergebnis von Mitternacht:
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds
hier da dann die von Megamath vorgeschlagene Variante mit trig. Subst.
s = sin(w)
ds = cos(w) dw
dw = ds / cos(w)
dann wird das zu
-INT (sin(w))^19 / sqrt(1-(sin(w))^2) ds =
-INT (sin(w))^19 / cos(w) * 1/cos(w) dw =
-INT (sin(w))^19 dw
und siehe da, des selbe zu integrierende Sache wie bei Megamath
da lernste Substitution bis ins letzte Detail
so gehts weiter
-INT (sin(w))^19 dw
dv = sin(w) dw
v = -cos(w)
u = (sin(w))^18
du = 18(sin(w))^17*cos(w) dw
-(uv - INT v du) wird da zu
-(-cos(w)*(sin(w))^18 - INT -18cos^2(w)*(sin(w))^17 dw =
cos(w)*(sin(w))^18 - INT 18cos^2(w)*(sin(w))^17 dw
daher:
-INT (sin(w))^19 dw = cos(w)*(sin(w))^18 - INT 18cos^2(w)*(sin(w))^17 dw <=>
-INT (sin(w))^19 dw = cos(w)*(sin(w))^18 - INT 18(1-sin^2(w))*(sin(w))^17 dw <=>
-INT (sin(w))^19 dw = cos(w)*(sin(w))^18 - INT 18*(sin(w))^17-18*(sin(w))^19 dw <=>
-INT (sin(w))^19 dw = cos(w)*(sin(w))^18 - 18*INT (sin(w))^17 dw + 18 INT (sin(w))^19 dw <=>
-19*INT (sin(w))^19 dw = cos(w)*(sin(w))^18 - 18*INT (sin(w))^17 dw <=>
-INT (sin(w))^19 dw = 1/19*cos(w)*(sin(w))^18 - 18/19*INT (sin(w))^17 dw
und analog geht es weiter
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 452
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 10:25: |
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danke,
aber ehrlich gesgat verstehe ich das mit dem sinus und so nicht, was willste mir damit sagen? muss ich nicht jetzt versuchen
INT u^9 / (-2sqrt(1-u)) du =
-1/2 INT u^9 / sqrt(1-u) du
zu lösen?
wie mache ich da denn weiter?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1119
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 19:29: |
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Hi,
das Ziel einer Substitution ist es den Term zu vereinfachen und soweit es geht auf Grundintegrale zurückzuführen;
Ebenso die Partielle Integration ist ein sehr mächtiges Hilfsmittel;
von daher meine seltsame Substitution
nochmal zu meinem Ergebnis von Mitternacht
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds
dv = s/sqrt(1-s^2) ds
v = -sqrt(1-s^2)
u = s^18
du = 18s^17 ds
-(uv - INT v du) wird da zu
-(-sqrt(1-s^2)*s^18 - INT 18s^17 * (-sqrt(1-s^2)) ds) =
sqrt(1-s^2) * s^18 - 18 INT s^17 sqrt(1-s^2) ds
das Problem hat sich somit reduziert auf INT s^17 sqrt(1-s^2) ds
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds = sqrt(1-s^2) * s^18 - 18 INT s^17 sqrt(1-s^2) ds <=>
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds = sqrt(1-s^2) * s^18 - 18 INT s^17 * (1-s^2) / sqrt(1-s^2) ds <=>
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds = sqrt(1-s^2) * s^18 - 18 INT (s^17-s^19) / sqrt(1-s^2) ds <=>
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds = sqrt(1-s^2) * s^18 - 18 INT s^17 / sqrt(1-s^2) ds + 18 INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds <=>
-19 INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds = sqrt(1-s^2) * s^18 - 18 INT s^17 / sqrt(1-s^2) ds <=>
-INT s^19 / sqrt(1-s^2) ds = 1/19s^18 * sqrt(1-s^2) - 18/19 INT s^17 / sqrt(1-s^2) ds
nun gilt es das zu lösen:
INT s^17 / sqrt(1-s^2) ds
dv = s/sqrt(1-s^2) ds
v = -sqrt(1-s^2)
u = s^16
du = 16s^15 ds
(uv - INT v du) wird da zu
-sqrt(1-s^2)*s^16 - INT 16s^15 * (-sqrt(1-s^2)) ds =
-sqrt(1-s^2)*s^16 + 16 INT s^15 sqrt(1-s^2) ds
siehst Du wie es weitergeht?
@Megamath: auch damit kann man ganz nett 'ne Rekursion zusammenbasteln 
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 469
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 12:33: |
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sorry ich muss das erstmal alles nachrechnen und hatte die ganze zeit mit anderen sachen noch zu tun!
vielen dank!
detlef |
