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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 446
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2005 - 17:48: | 
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hallo,
wie funktioniert die PBZ bei folgendem Integral:
1/(x³+x²-x-1) dx ????? komme damit nicht klar...
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2629
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2005 - 20:38: |
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x³+x²-x-1 = (x³-1) + x*(x-1)
=
(x-1)(x²+x+1) + (x-1)*x = (x-1)*(x²+2x+1)
= (x-1)*(x+1)²
1/( (x-1)*(x+1)² ) = A/(x-1) + (Bx+C)/(x+1)²
Koeffizitenten:
x²: A + B = 0
x¹: 2A -B = 0
x°: A - C = 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1302
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2005 - 21:40: |
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die Zerlegung des Nenners liefert etwas einfacher:
x³ + x² - (x + 1) =
= x²*(x + 1) - (x + 1)=
= (x + 1)*(x² - 1) =
= (x - 1)*(x + 1)²
Dann ist der Ausdruck die Summe der Partialbrüche
A/(x - 1) + B/(x + 1) + C/(x + 1)²
was im Wesentlichen (mit etwas anderen Koeffizienten) identisch mit dem Ansatz von Friedrich ist.
Gr
mYthos |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 09:11: |
|
ja,
wobei meine letze Zeile natürlich x°: A - C = 1
lauten muß
ich
habe (Bx+C)/(x+1)² stehen lassen da es auch auf
anderen Weise in leicht integrierbare Form
gebracht werden kann.
(Beitrag nachträglich am 09., Februar. 2005 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 12:00: |
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danke erstmal, aber wie kommt man auf folgende zeile:
@mythos
A/(x - 1) + B/(x + 1) + C/(x + 1)²
@friedrich
A/(x-1) + (Bx+C)/(x+1)²
wie kommste auf Bx+C?
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 12:29: |
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Hi!
Die "klassische" Lehre ist die, dass in der PBZ nur die Linearfaktoren der Nullstellen des Polynoms und bei n-fachen Nullstellen alle Kombinationen mit dem Exponenten von 2 bis n vorkommen dürfen. Bei der mehrfachen Nullstelle, wie sie hier der Faktor (x + 1)² bezeichnet, muss also als Nenner in der Partialbruchzerlegung sowohl der einfache Linearfaktor (x + 1) als auch alle Zusammensetzungen der mehrfachen (hier nur (x + 1)²) vorkommen, daher ("klassische Form")
.. = .. + B/(x + 1) + C/(x + 1)²
Wenn du nun in der Zerlegung bei der "klassischen Formel"
.. + B/(x+1) + C/(x + 1)² umformst zu
.. + [B*(x + 1) + C]/(x + 1)² =
.. + [Bx + B + C]/(x + 1)²
siehst du schon das Bx und statt B + C steht das C bei Friedrich. Du kriegst dann eben ein anderes C heraus, aber im Endeffekt ergibt sich natürlich wieder dieselbe PBZ.
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 15:56: |
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ah ok, vielen dank..
und wie mache ich da dann den koeffizientenvergleich? ist immer noch möglich?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2005 - 17:53: |
|
Du bringst A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)²
auf
einen Nenner, und fasst den Zähler
nach Potenzen von x zusammen : x²*(...)+x¹*(...) + x°*(...)
und
alle (...), außer für x° müssen 0 sein, für x°(...) muß (...) = 1
sein.
das gibt 3 Gleichungen in A,B,C
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 10:43: |
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also ich habe das versucht nachzurechnen und es hat nicht geklappt, ich verstehe das noch nicht:
ich habe die funktion:
1/(x³+x²-x-1)
jetzt suche ich die nullstellen des nenners:
(x-1)*(x+1)*(x+1)
normalerweise, bei zwei nullstellen, schreibt man das nun so auf:
A/(x-1)+B/(x+1)
und die dritte dazu + C/(x+1).
ich versteh diese klassische form nicht, wieso quadrat und einfach dabei sein müssen, also :
A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)²
und wie bringt man die auf einen nenner?
hilfe, bitte!!!!
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 11:59: |
|
A,B,C sollen ja Konstanten sein,
B/(x+1) + C/(x+1) wäre ja dann (B+C)/(x+1) mit
also
nur einer Konstante B+C und VORALLEM
wäre
der gemeinsame Nenner nicht (x-1)*(x+1)² .
Ein
Bruch mit dem Nenner (x-1)*(x+1)²
kann
aber die Summe von Brüchen mit den Nennern
(x-1), (x+1), (x+1)² sein
es ist dann
A/(x-1) mit (x+1)²
B/(x+1) mit (x+1)(x-1) und
C/(x+1)² mit (x-1)
zu
erweitern, um alles auf den Nenner (x-1)(x+1)²
zu bringen.
im Zähler entsteht dann ein quadratisches Polynom
mit Koeffizienten
der
Form u*A+v*B+w*C,
und
hier müßen die Koeff. für x² und x null sein,
und
der für x° eins.
Das ist ein lineares Gleichungssystem in A,B,C
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[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 13:04: |
|
ok, das mit dem hauptnenner habe ich verstanden, wobei diese schreibweise(zwei summanden)
1/( (x-1)*(x+1)² ) = A/(x-1) + (Bx+C)/(x+1)² mit Bx+C wieder was anderes ist?
also bei dem anderen mit den drei summanden komme ich auf
(A+B)*x²+(2*A+C)*x+(A-B-C)
A=1/4
B=-1/4
C=1/2 , wobei C nicht richtig sein kann, weil nicht jede gleichung damit erfüllt ist! wo ist der fehler?
danke detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 13:26: |
|
ja, das erste ist etwas anderes ( es wäre eben die
Zusammenfassung der Brüche mit Nennern x+1, (x+1)²);
die
Lösung ist
1/(4(x-1)) - 1/(4(x+1) -1/(2(x+1)²)
Haupsache, du verstehst WIE es zu rechnen ist.
Es scheint ja nicht allzu dringend zu sein,
also versuchs Morgen in Ruhe nochmals von
Anfang an.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 13:45: |
|
hallo, bist du dir sicher? wir haben in der schule für C = -3/4 herausbekommen!
ich komme jetzt auch auf 1/2, hmm..
ich möchte den anderen ansatz auch verstehen, weil ich sonst nicht ruhig schlafen kann;)
A/(x-1)+(Bx+C)/(x+1)²
wo kommt das x im zähler her, ist das, damit der zähler 1 ergeben kann und der andere term mit x = 0 sein muss??
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 14:19: |
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ich lese gerade:
siehst du schon das Bx und statt B + C steht das C bei Friedrich. Du kriegst dann eben ein anderes C heraus, aber im Endeffekt ergibt sich natürlich wieder dieselbe PBZ.
wie kommt das denn zustande? in der schule haben wir mit der anderen methde gerechnet und bekamen was anderes für C heraus?!?!
ist dann beides richtig?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 14:52: |
|
was das A/(x-1)+(Bx+C)/(x+1)² betrifft,
das habe ich, faul  , vom Voyage 200 lösen lassen,
wenn Du nun zum selben Ergebnis kommst sollte es
also stimmen.
Wenn man für den Ansatz
../(x-1) + ../(x+1)² nur A,B näme müßte A = 0 sein
damit kein x² enthalten ist, dann bliebe aber
nurmehr, unlösbar B/(x+1)² .
--------
Ist es denn wirklich so schwer zu sehen daß,
wenn
A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)² = U/(x-1) + (Vx+W)/(x+1)²
gelten soll ( = steht hier für IDENTISCH,
die Gleichheit muß also nicht nur für einen sondern beliebige x Werte gelten )
NICHT
A=U, B=V, C=W gelten können?
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 15:22: |
|
das heißt also das beide ergebnisse richtig sind?!!
aber wieso gerade Bx+C, wie kommt das zu stande?
wie integriere ich diesen term -1/(2(x+1)²) ?
wie sieht da ln aus?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 15:52: |
|
welche beiden?
----------------------
mit Konstanten a,b,c, Konstante d>1
f(x) = -1/(2(x+1)²) = a*(b*x+c)-d
substituirt man u = b*x, dx = u/b,
Stammfunktion
F(x) = (a/b)*u-d+1/(-d+1)
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 15:56: |
|
naja einmal das ergebnis von dieser grundlage:
A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)²
und dann das von dieser:
U/(x-1) + (Vx+W)/(x+1)²
da unterscheiden sich ja die werte für C!!!!
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 20:51: |
|
also habe das nochmal durchgerechnet:
ansatz1:
A/(x-1)+(Bx+C)/(x+1)² =>
A+B = 0
2A+C-B=0
A-C=1
=> A=1/4;B=-1/4;C=-3/4
Ansatz2:
A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)² =>
A+B=0
2A+C=0
A-B-C=1
=>A=1/4;B=-1/4;C=1/2
das meine ich mit unterschiedlichen ergebnissen!
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2005 - 21:24: |
|
ok, und die müssen ja auch verschieden sein,
und wenn Du
aus Ansatz -1/(4x+4) - 1/(2(x+1)²)
zusammenfaßt erhälts Du das Ergebnis von Ansatz1
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[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 09:24: |
|
@Detlef
du hast bei Ansatz 2 einen Fehler, denn C muss sich dort zu -1/2 ergeben!
Mit Ansatz 2 folgt weiter:
.. = (1/4)*(1/(x - 1)) - (1/4)*(1/(x + 1)) - (1/2)*(1/(x + 1)²)
das Integral der beiden ersten Summanden ist nun leicht
.. = (1/4)*ln(x - 1) - (1/4)*ln(x + 1)
und des letzten Summanden nach der Potenzregel
.. -(1/2)*int[1/(x + 1)²]dx = - (1/2)* (-1/(x + 1)) = .. + (1/2)* (1/(x + 1)).
Man kann nämlich, ohne explizit zu substituieren, x - 1 bzw. x + 1 beim Integrieren genauso wie x auffassen (das geht deswegen, weil bei der Substitution u = x - 1 bzw. u = x + 1 gilt: du = dx)
Beim Ansatz 1 ist das Integral des Ausdruckes (Bx + C)/(x + 1)² mit B = -1/4 und C = -3/4 nicht mehr so leicht zu ermitteln. Genaugenommen wäre erneut eine PBZ nötig, was natürlich hier absurd ist. Es funktioniert jedoch auch mittels Trennung und Substitution ..., aber ist jedenfalls umständlicher.
M.E. ist daher der Ansatz 2 vorzuziehen, weil einfacher.
Gr
mYthos |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 12:10: |
|
Hallo D.,M.
da kommt dazu etwas wie gerufen
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Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 12:47: |
|
also ich habe -(1/2)*int[1/(x + 1)²]dx einfach substituiert und komme dann auf dein ergebnis!
dann ist ja das ergebnis:
1/4ln(x-1)-1/4ln(x+1)+1/2(1/(x+1))
?!?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 13:01: |
|
gibt es da nicht eine integrationsmethode für...also für brüche, wo x im zähler steht und im nenner noch (x²+2x+1)
sowas mit arctan oder so?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 13:19: |
|
wenn im Nenner ein vollständiges Quadrat steht
und im Zähhler a*x + b
vergewaltigt
man den Zähler zu
und spaltet dann (x²+2x+1)'=2x+2 ab
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
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|
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 13:38: |
|
das ist das integral? und wie sieht der nenner dann aus?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 14:11: |
|
das a*x + b = ....
ist NICHT das Integral von (a*x+b)/(x²+2x+1),
das
wäre dann (a/2)*ln(x²+2x+1) + (2b/a - 2)*(-3)*(x+1)-3
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 464
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 15:57: |
|
oh gott und wie kommt man auf diese gleichung?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2641
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2005 - 18:15: |
|
ok, kleiner Fehler noch (a/2)(*ln(x²+2x+1) + (2b/a - 2)*(-3)*(x+1)-3)
1ter
Summand Zähler 2x+2 ist (x²+2x+1)'
also
die Nennerableitung, Stammfunktion also ln(Nenner)
bleibt
also
noch
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 465
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2005 - 10:30: |
|
ok, vielen dank!
meiner meinung nach ist die PBZ mit den drei summanden einfacher, da die stammfunktion dann später einfacher zu lösen ist!
detlef |
