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Beitrag |
    
Julia19
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2005 - 23:01: | 
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hab mal eine Frage bzw. eine Bitte, ich komm hier irgendwie nicht weiter.. vll. habt ihr ja eine Lösung: Es geht um logistisches Wachstum!
In diesem Fall um das Wachstum von Sonnenblumen!
Tag Größe [cm]
7 17,93
14 36,36
21 67,76
28 96,1
35 130
42 169,5
49 205,5
56 228,3
63 247,1
70 250,5
77 253,6
84 254,5
Das sind die Werte und folgende Gleichung haben wir bekommen! [e=eulerische Zahl]
f(x)= a / (1 + b * e^(-c*x))
Nun sollen wir den Grenzwert (od. auch Sättigungswert genannt) bestimmen und ich komm einfach nicht darauf ... vielen Danke schon mal!!} |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1299
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2005 - 11:00: |
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Hallo
Was weisst du bereits über das logistische Wachstum? Wie sieht eine logistische Wachstumsfunktion aus?
Allgemein sind die Grenzen des math. Modells dort gegeben, wo die mittels eines eventuell unzureichend konzipierten math. Modells errechneten Werte in Wirklichkeit nicht zutreffen. Denn das natürliche Wachstum ist von verschiedenen Einflüssen (Lebensbedingungen, Grenzpopulation infolge Sättigung, Platzmangel, Wetter, usw.) abhängig, die nicht alle in der mathematischen Gleichung berücksichtigt werden können. Aus diesem Grund kann der tatsächlich erreichte Zustand langfristig erheblich von der mathematisch errechneten Vohersage abweichen.
Daher muss das Modell möglichst genau an die realen Verhältnisse angepasst und gegebenenfalls der Einfluss weiterer Variablen berücksichtigt werden.
Wachstumsprognosen sind eine Wissenschaft für sich und die solche beschreibenden math. Modelle enthalten wesentlich komplexere Funktionen und Variablen als die einfache Beziehung in unserer Aufgabe.
Wir können Wachstumsprozesse in einer ersten Einteilung als exponentiell, beschränkt oder logistisch bezeichnen.
Nähere interessante Details findet man z.B. bei:
http://sites.inka.de/picasso/Notheis/Herleitung.htm
Die dort angegebene Gleichung
f(t) = G / (1 + b.e^(-G.k.t))
t .. Zeit, f(t) Anzahl bzw. Größe der Population
können wir sehr gut mit der von dir angegebenen Funktion vergleichen:
f(x) = a / (1 + b*e^(-cx))
x .. Zeit
Wir erkennen sogleich, dass a der Grenzwert ist. Wenn du nämlich in der Funktion x gegen Unendlich gehen läßt, wird der Faktor e^(-cx) zu Null und es ergibt sich als Grenzwert a.
In dieser Funktion sind also 3 Parameter nötig, nämlich a (Grenzwert), b (Faktor bei der e-Funktion) und c (Wachstumskonstante mal Grenzwert).
Also sollten prinzipiell nur 3 Wertepaare nötig sein. Die anderen dienen zur Kontrolle. Nimm ein Paar am Anfang, (7|17,93), eines in der Mitte, z.B. (42|169,5) und das letzte (84|254,5), die du einsetzt, um diese Parameter zu ermitteln. Die anderen Paare sollten diese Funktion weitgehend erfüllen.
Unschwer ist bereits der Sättigungswert zu erkennen, er wird wahrscheinlich der Nähe von 260 liegen.
Noch ein anderer Link offenbart und erklärt gut einige Details über das exponentielle Wachstum:
http://sites.inka.de/picasso/Rutsch/exponwa.htm#Exponentielles
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 04., Februar. 2005 von mythos2002 editiert) |
Julia19
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2005 - 12:13: |
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Danke schon mal!
So weit ist mir das klar, ich hatte mir auch schon 3 Wertepaare ausgesucht, allerdings krieg ich die irgendwie nicht aufgelöst ... vll. hab ich irgendein pagatell Fehler...
Kannst du mir vll. eine mal aufschreiben? Damit ich gucken kann, wo mein Fehler liegt?
danke
Julia19 |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1301
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2005 - 02:24: |
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Hi!
Je nachdem, welche 3 Wertepaare herangezogen werden, ergeben sich jeweils leicht veränderte Werte für a, b, c.
Allerdings ist das entstehende System nicht leicht und auch nicht exakt (algebraisch) auflösbar, weil c als Exponent auftritt. Es empfiehlt sich daher der Einsatz eines Rechenprogrammes (bzw. Excel) zur näherungsweisen Lösung (Näherungsverfahren). Es geht aber auch beispielsweise mit DERIVE sehr schön.
Dazu schreiben wir zunächst die 3 Gleichungen allgemein an und lösen soweit wie möglich auch allgemein und setzen erst zum Schluss die besonderen Werte ein. Die 3 Wertepaare seien (x1|y1), (x2|y2) und (x3|y3). Somit gilt das System:
y1 = a/(1 + b*e^(-cx1))
y2 = a/(1 + b*e^(-cx2))
y3 = a/(1 + b*e^(-cx3))
-----------------------
Zur leichteren Rechnung setzen wir vorübergehend e^(-c) = v .. Substitution, später ermitteln wir dann c aus v als
c = -ln(v)
y1 = a/(1 + b*v^x1)
y2 = a/(1 + b*v^x2)
y3 = a/(1 + b*v^x3)
---------------------
Durch Division der Gleichungen kommt
y1/y2 = (1 + b*v^x2)/(1 + b*v^x1)
y2/y3 = (1 + b*v^x3)/(1 + b*v^x2)
----------------------------------
ausmultiplizieren und b ausklammern
b*(y1*v^x1 - y2*v^x2) = y2 - y1
b*(y2*v^x2 - y3*v^x3) = y3 - y2
----------------------------------
zur Elimination von b .. abermals Division
(y1*v^x1 - y2*v^x2)/(y2*v^x2 - y3*v^x3) = (y2 - y1)/(y3 - y2)
Diese Gleichung kann nunmehr nach Eingabe der x- und y-Werte nach v aufgelöst werden!
Danach:
c = -ln(v)
b = (y2 - y1)/(y1*v^x1 - y2*v^x2)
a = y1*(1 + b*v^x1)
-------- DERIVE Beginn -------
x1 := 7
x2 := 42
x3 := 84
y1 := 17.93
y2 := 169.5
y3 := 254.5
(y1·v^x1 - y2·v^x2)/(y2·v^x2 - y3·v^x3) = (y2 - y1)/(y3 - y2)
NSOLVE((y1·v^x1 - y2·v^x2)/(y2·v^x2 - y3·v^x3) = (y2 - y1)/(y3 - y2), v, Real)
v = 0.9113155213
v := 0.9113155213
c := - LN(v)
c
0.09286609558
b := (y2 - y1)/(y1·v^x1 - y2·v^x2)
b
25.55995099
a := y1·(1 + b·v^x1)
a
257.1633249
-------- DERIVE Ende -------
Der Grenzwert liegt also bei ca. 257 (mit anderen Wertepaaren tendiert er unwesentlich zu 256)
Die Wachstumsfunktion lautet nunmehr:
f(x) = 257 / (1 + 25.56 * e^(-0.092866*x))
Gr
mYthos
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