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Kathetensatz

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Skalarprodukt » Kathetensatz « Zurück Vor »

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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2005 - 18:17:   Beitrag drucken

Hallo,
könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?:

1. Formulieren Sie den Kathetensatz mithilfe geeigneter Vektoren.
2. Beweisen Sie den Kathetensatz mithilfe des Skalarprodukts.

Ich weiß, dass der Kathetensatz nur für rechtwinklige Dreiecke gilt und lautet:
a²= c*p
b²= c*q

Dann habe ich mir überlegt, dass ich auch c=q+p sagen kann. Aber trotzdem hilft mir das nicht viel weiter!

Wäre dankbar für eure Hilfe,
viele Grüße von Christina
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Analysist (Analysist)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist

Nummer des Beitrags: 316
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2005 - 20:56:   Beitrag drucken

Hallo,

anbei ein WordDokument dazu.

Gruß
Peter
application/mswordkathetensatz
kathetensatz.doc (19.5 k)
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Tux87 (Tux87)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 454
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2005 - 20:58:   Beitrag drucken

Beweis:
A,B,C,P,Q,H sind die Strecken des Dreiecks (als Vektoren)
mach dir am Besten eine Zeichnung zum besseren Verständnis
A=B+C
A=H+P
A²=(B+C)*(H+P)=B*(H+P)+C*(H+P)=B*(H+P)+C*H+C*P=B*A+C*H+C*P
A*B=0 (stehen ja senkrecht aufeinander)
C*H=0 (stehen auch senkrecht aufeinander - H ist Lot auf C)
C*P bleibt übrig
A²=C*P

B²=C*Q kannste bestimmt selbst...
mfG
Tux
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1294
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2005 - 21:00:   Beitrag drucken

Hi,

du brauchst nur einen Teil der Kathetensätze beweisen, denn der andere Teil ist analog.

Der eigentliche Beweis ist vektoriell wirklich verblüffend einfach. Wenn man es geschickt anfängt, braucht er letztendlich nur 2 Zeilen ...

Voraussetzung ist erst einmal die (geometrische) Definition des skalaren Produktes und die sich daraus ergebenden Regeln:

Das skalare Produkt zweier Vektoren a und b ist gleich dem Produkt aus dem Betrag (der Länge) des ersten Vektors (|a|) und dem Betrag der Projektion des 1. Vektors auf den 2. Vektor (|b_a|)

a.b = |a|.|b_a|

Insbesondere ist auch a^2 = |a|^2, d.h. das skalare Produkt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seines Betrages (seiner Länge).

Aus der o.a. Definition des skalaren Produktes folgt auch sogleich, dass das skalare Produkt zweier Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen, gleich Null sein muss, weil die Projektion eines Vektors auf seinen Normalvektor verschwindet (Null wird).

Ausserdem ist die skalare Multiplikation kommutativ, asoziativ und distributiv.

Nun, mit diesen Vorkenntnissen ausgerüstet, schreiten wir zum Beweis. Im rechtwinkeligen Dreieck bezeichnen wir die Eckpunkte mit A,B und C, AB ist die Hypotenuse (c), der Fusspunkt der Höhe von C auf AB sei C'. Die Strecke AC' = q und C'B = p.

Dann führen wir die Vektoren CB = a und CA = b ein. Der Vektor AB lautet dann (aus Gründen der Verknüpfung Vektoraddition bzw. -subtraktion) a - b. Sein Betrag ist c (= die Länge der Hypotenuse).

Jetzt bilden wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren AB (= a - b) und CA (=a) und nützen die Tatsache, dass das Skalarprodukt a.b = 0 ist, denn a steht laut Voraussetzung auf b senkrecht.

(a - b).a = c.p

c .. Betrag von a - b,
p .. die Länge der Projektion von a auf a - b

Die obige Gleichung ausmultiplizieren liefert:

a.a - b.a = c.p
weil b.a = 0 (Vektoren a und b stehen senkrecht aufeinander) ist weiter

a.a = c.p, a.a durch |a|^2 ersetzen

|a|^2 = c.p
°°°°°°°°°°°°

Das ist der Kathetensatz. Was zu zeigen war.

Gr
mYthos
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2005 - 14:39:   Beitrag drucken

!!!Vielen Dank für eure Hilfe!!!

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