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Musikus (Musikus)
Mitglied
Benutzername: Musikus
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 17:06: | 
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Hi Leute!
Ich brauche mal wieder Eure Hilfe.
Ich soll den Mittelpunkt einer Kugel finden, die der quadratischen Pyramide ABCDS einbeschrieben ist.
A(3;-3;0) B(3;3;0) C(-3;3;0)
D(-3;-3;0) S(0;0;4)
Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich das Machen soll.
Kann mir jemand helfen?
Danke im voraus.
Euer Musikus |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1285
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 18:56: |
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Hi!
Durch die Pyramide wird ein Diagonalschnitt - beispielsweise durch ACS gelegt, dann sieht man die Punkte A, C und S auf einem Großkreis (R .. Radius der Kugel) liegen. Der Mittelpunkt M der Kugel liegt auf der Höhe OS (= 4), da das Quadrat smmetrisch zu O und ganz in der x-y - Ebene liegt.
Es ist MS = 4 - R, OA = OC = 3*sqrt(2) (Diagonale des kleinen 3 x 3 - Quadrates) und MA = MC = R. Diese drei Größen bilden ein rechtwinkeliges Dreieck, sodass weiter ist:
(4 - R)^2 + 18 = R^2
16 - 8R + R^2 + 18 = R^2
8R = 34
R = 17/4 bzw. 4,25 E.
Der Rest (Kugelgleichung) ist sicher einfach ...
Gr
mYthos
[EDIT]
Ich sehe gerade, dass die der Pyramide UMgeschriebene Kugel berechnet wurde (auch nicht schlecht).
Die EINgeschriebene Kugel wird jedoch ähnlich ermittelt. Statt eines Diagonalschnittes ist nun ein Parallelschnitt zu legen, da die Berührung der Kugel längs der Höhen der Seitenflächen erfolgt. Als Schnittfigur ergibt sich ein Dreieck, dessen Inkreisradius r zu berechnen ist ...
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 11., Januar. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1074
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 18:59: |
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Der Mittelpunkt der Grundfläche lautet MABCD(0|0|0)
dieser bildet mit der Spitze S(0|0|4) eine Gerade auf welcher der gesuchte Kugelmittelpunkt liegt;
der Mittelpunkt der Grundfläche ist weiters der Berührpunkt der einschreibenden Kugel;
die anderen 4 Berührpunkte liegen jeweils auf der Geraden zwischen Spitze und dem Halbierungspunkt der Basiskante;
das ganze Problem reduziert sich darauf den Mittelpunkt des Inkreises von folgendem Dreieck
MAB(3|0|0)
MCD(-3|0|0)
S(0|0|4)
zu suchen;
dies geht durch Schnitt 2er Winkelsymetralen;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1286
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 19:17: |
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Wie im EDIT bereits erwähnt, ist der Inkreisradius r eines bestimmten - von Mainziman beschriebenen - Dreieckes zu berechnen. Allerdings werden wir diesen (r) nicht mittels der Winkelsymmetralen berechnen (das finde ich nicht so zielführend), sondern mittels der Ähnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke SOM_(AB) und SMT (T ist der Berührungspunkt der Kugel mit der Seitenhöhe, M jetzt der Mittelpunkt der eingeschriebenen Kugel):
MS = 4 - r, Seitenhöhe h1 = M_(AB)S = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 !!
Lt. Ähnlichkeit ist nun
3 : 5 = r : (4 - r)
12 - 3r = 5r
8r = 12
r = 3/2 bzw. 1,5 E
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1075
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 19:39: |
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Danke mYthos, hätte schon fast gezweifelt mein Schnittdreieck wär falsch 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Musikus (Musikus)
Mitglied
Benutzername: Musikus
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 20:35: |
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Viellen Dank auch Nochmal, Ihr Habt mir sehr geholfen. |
