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Anastäschen (Anastäschen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 16:32: | 
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Hallo ihr Lieben,
ich brauche ganz dringend eure liebe Hilfe.Muß diese Aufgabe am Freitag abgeben und ich komme damit überhaupt nicht klar.
Gegeben sind die Funktionen fa durch:
Y=fa(x)= 1/a *e^2x – 2*e^x
Untersuchung der Funktion auf das Verhalten im Unendlichen/ Minusunendlichen.
( Da weiß ich das sie im unendlichen gegegen unendlich geht und im minusunendlichen gegen 0 ) Kann es aber nicht begründen.
Dann sollen wir Art und Lage der Extrema bestimmen.Da weiß ich auch gar nicht mehr wie ich ableiten soll.
Bitte bitte helft mir!!!
Vielen Dank im voraus!! |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 535
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 23:21: |
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Hi,
für x->oo geht auch u=e^x->oo und das Polynom 1/a*u^2-2*u geht dann auch gegen oo, jedenfalls solange a>0 ist, bei a<0 eben gegen -oo.
Für x->-oo gehen beide Exponentialterme gegen 0, folglich auch deren Linearkombination.
Dein Problem beim Ableiten kann ich nicht ganz nachvollziehen, da exp dabei so ziemlich die gutartigste Funktion ist die ich kenne.
sotux |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1269
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 08:59: |
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Hallo,
a > 0! a muss größer Null sein, das fehlt in der Angabe! Sonst wäre später ln(a) nicht definiert.
fa'(x) = (2/a)*e^(2x) - 2*e^x
denn die Ableitung der e-Funktion ist wiederum dieselbe, allerdings nach der Kettenregel multipliziert mit der inneren Ableitung des Exponenten, falls dieser selbst eine Funktion von x ist. Daher ist bei e^(2x) mit 2 zu multiplizieren.
fa'(x) nun Null setzen, 2*e^x ausklammern:
2*e^x*((e^x)/a - 1) = 0
»»
e^x = a
x = ln(a)
°°°°°°°°°
Mit der 2. Ableitung auf Art des Extremums prüfen (darin x = ln(a) einsetzen, Vorzeichen ..):
fa'(x) = (2/a)*e^(2x) - 2*e^x
fa''(x) = (4/a)*e^(2x) - 2*e^x
fa''(ln(a)) = (4/a)*a^2 - 2a
denn e^x = a, somit e^(2x) = (e^x)^2 = a^2
= 4a - 2a = 2a > 0, es liegt ein Minimum vor!
Um die Lage aller Extrempunkte der Schar zu bestimmen, berechnen wir deren Ortskurve.
Dazu setzen wir in fa für x = ln(a) ein:
y = fa(x) = (1/a)*e^(2x) - 2*e^x
y = (1/a)*a^2 - 2a = a - 2a = -a
Mit
x = ln(a)
y = -a
liegt bereits eine Parameterform dieser Ortskurve vor. Daraus wird nun a eliminiert:
e^x = a
-a = -e^x
y = -e^x .. darauf liegen alle Minima
°°°°°°°°°
Gr
mYthos |
Anastäschen (Anastäschen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 09:16: |
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Ich danke euch beiden von ganzem Herzen.
Hätte es alleine nicht hinbekommen.
Mir ist schon klar das die e -Funktion nicht allzu schwer ist ,bloß wenn ich keinen Anfang finde ,dann nützt mir das auch nichts.
1000 Dank noch einmal |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1270
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 10:46: |
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Dazu noch eine Grafik
Gr
mYthos |
Anastäschen (Anastäschen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 16:40: |
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Vielen Dank lieber Mythos!! |
