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Bom (Bom)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bom
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Dezember, 2004 - 21:41: | 
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hi! es gibt zwei kugeln mit M(b,1,0) für welche g 10,1,8)+r(0,-1,1) und h: (4,4,11)+t(-8,0,0) Tangenten sind. Bestimmen Sie den Mittelpunkt der beiden Kugeln!
Hat da jemand Rat?
Grüße und frohe Weihnacht
BoM |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4709
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Dezember, 2004 - 21:13: |
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Hi BoM
Deine Berührungsaufgabe für Kugeln mit vorgegebenen Tangenten
ist nicht nur für Studierende, sondern offenbar auch für Helfer
aus dem Forum anspruchsvoll genug.
Die Aufgabe lässt sich mit Hilfe der Diskriminantenmethode
einigermaßen bequem lösen.
Das geht so:
Setze als Kugelgleichung an:
f:= (x-b)^2 + (y-1)^2 +z^2 – r^2 = 0
r ist der zu bestimmende Kugelradius.
Damit es zu keinen Verwechslungen mit dem Parameter in der
Gleichung für die Gerade g kommt, ersetzen wir dort den Parameter
r durch s.
Die Gerade g hat demnach die Parametergleichung in skalarer
Schreibweise:
x = 10; y = 1 – s ; z = 8 + s
Dies setzen wir der Reihe nach in die Kugelgleichung f = 0 ein
Es entsteht eine quadratische Gleichung für s,
die, schön geordnet, folgendermaßen lautet:
2 s^2 + 16 s + 164 + b^2 – 20 b - r^2 = 0
Die Gerade g wird zur Tangente, wenn diese Gleichung eine
Doppellösung in s hat.
Um diesen Sachverhalt zu erreichen, setzen wir die Diskriminante D
dieser Gleichung null!
Wir erhalten:
D = 256 – 8 * (164 + b^2 - 20 b – r^2)
Mit D = 0 kommt eine Gleichung für r und b, die vereinfacht so lautet:
b^2 - 20 b + 132 – r^2 = 0…………………………………………………..(1)
Dasselbe Verfahren wenden wir auf die Gerade h an,
deren skalar angeschriebene Darstellung mit t als Parameter lautet:
x = 4 – 8 t ; y = 4 ; z = 11.
Dies setzen wir der Reihe nach in die Kugelgleichung f = 0 ein
Es entsteht eine quadratische Gleichung für t,
die, wiederum schön geordnet, folgendermaßen lautet:
64 t^2+ 16 (b - 4) t + 146 + b^2 - 8 b - r^2 = 0
Wir setzen die Diskriminante E dieser Gleichung ebenfalls null,
damit auch h zur Tangente wird.
Der Reihe nach kommt
E = 256 (b-4)^2 – 256 (146 + b ^ 2 – 8 b - r ^2)
E = 0 führt uns zu einer zweiten Gleichung für r und b
b^2 – 8 b + 16 = 146 + b ^ 2 - 8 b – r^2
b fällt sogar weg, und es bleibt das Teilresultat
r^2 = 130
°°°°°°°°°°
Mit der Gleichung (1) erhalten wir die beiden b-Werte:
b1 = 10 + 7 * sqrt (2)
b1 = 10 - 7 * sqrt (2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4710
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Dezember, 2004 - 21:25: |
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Hi BoM
Du kannst das Ergebnis überprüfen.
Ersetze in der Kugelgleichung b durch den Term
b1=10 + 7 * sqrt(2) ;
r^2 durch 130
Schneide die Kugel mit g, indem Du
x =10, y=1 – s , z = 8 + s einsetzest.
Es kommt für den Parameter s die Gleichung
2 s^2 + 16 s + 32 = 0
Faktorisiert:
2 * ( s + 4) ^ 2 = 0
s = - 4 ist ersichtlich eine Doppellösung, wie es sein muss.
Schnitt derselben Kugel mit h; setze ein:
x = 4 – 8 t , y = 4 , z = 11
Es kommt für den Parameter t die Gleichung
( - 6 - 8 t – 7 sqrt( 2) ) ^ 2 = 0
Die Doppellösung für t ist unschwer zu erkennen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Habac (Habac)
Junior Mitglied
Benutzername: Habac
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 07:44: |
|
Hi
ich bin auf die gleichen b-Werte gekommen mit folgender Methode:
Normalebene zu g durch M:
n1: y-z=0
mit g schneiden: Berührungspunkt auf g: B1(10,5,4)
Normalebene zu h durch M:
n2: x=b
mit h schneiden: Berührungspunkt auf h: B2(b,4,11)
Jetzt noch die Strecken B1M und B2M bzw. deren Quadrate gleichsetzen:
b^2 - 20b + 132 = 130 und nach b auflösen!
Gruss! habac |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4713
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 08:40: |
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Hi habac
Es ist beruhigend und rettet den Tag:
Wir haben dasselbe Resultat auf verschiedenen Wegen bekommen.
Dein Weg ist interessant und bietet eine gute Rundsicht.
Noch in diesem Jahr führe ich eine andere,nahe liegende Lösungsart vor, die
methodisch von Interesse ist und auch einige Ausblicke bieten wird
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4714
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 18:30: |
|
Hi allerseits
Die Kugelaufgabe von BoM lässt uns keine Ruhe!
Wie versprochen, zeige ich eine weitere Lösung.
Sie ist rechnerisch ziemlich anspruchsvoll;
am Schluss löst sich jedoch alles in Minne auf.
An Mittelschulen sollte es zum Standard gehören,
dass man den Abstand eines Punktes von einer
Geraden mit Hilfe des Vektorproduktes berechnen
kann.
Das ist so gemeint:
Gegeben sei die Gerade g wie im BoM´schen Beispiel:
A(10/1/8) sei der „Aufpunkt“, der Vektor a ={0;-1;1}
ein Richtungsvektor von g.
Gesucht wird der Abstand d1 des Punktes P(u/v/w) von g.
Mit Hilfe des Verbindungsvektors p = AP lässt sich d1 als
Quotient d1 = Z / N darstellen,
wobei Z den Betrag des Vektorprodukts p x a, Faktoren
p und a
und N der Betrag des Vektors a bedeuten.
Lösungsidee.
Wir berechnen die Abstände d1 und d2 eines solchen Punktes
P(u/v/w) von g bzw. von h.
Wir setzen die Quadrate d1^2 und d2^2 einander gleich
und fragen nach der Fläche QUAK (Quadrik: Fläche zweiter Ordnung),
welche der laufende Punkt P unter der genannten Bedingung
beschreibt.
Wie diese Fläche heißt, ist gleichgültig:
„Ach wie gut, dass niemand weiß, dass ich Rumpelstilzchen heiß".
Zumindest werden wir die Gleichung dieser Quadrik berechnen.
Zur Bestimmung des Mittelpunktes M der Kugel schneiden wir die
Fläche Quak mit der zur x-Achse parallelen Geraden mm, auf welcher
nach dem Aufgabentext M liegen muss.
Gleichung von mm (b wird als Parameter aufgefasst):
x = b, y = 0 , z = 1.
Dies geschieht erst ganz am Schluss unserer Lösung!
Die Durchführung dieser Idee erfolgt im nächsten Beitrag.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4715
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 20:47: |
|
Hi allerseits
Ausführung der im letzten Beitrag geschilderten Idee.
Ansatz für P: P(u/v/w).
1.
Berechnung des Abstandes d1
d1 = Abstand (P, g).
Achtung: es gelten die Daten von g!
Ausgangsdaten:
Aufpunkt A(10/1/8)
Richtungsvektor a von g: a ={0;-1;1}
Vektor AP = p = {u-10;v-1;w-8}
Vektorprodukt p x a = {v-w-9;10-u;10-u}
Quadrat des Betrages dieses Vektorprodukts:
Z^2 =2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281
Quadrat des Betrages des Vektors a
N^2 = 2
daraus
d1^2 = Z^2/N^2 =
½ [2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281
2.
Berechnung des Abstandes d2
d2 = Abstand (P, h).
Achtung: es gelten die Daten von h!
Ausgangsdaten:
Aufpunkt A(4/4/11)
Richtungsvektor a von h: a ={-8;0;0}
Vektor AP = p = {u-4;v-4;w-11}
Vektorprodukt p x a = {0;88-8w;8v-32}
Quadrat des Betrages dieses Vektorprodukts:
Z^2 =64 (v^2+w^2 - 8v -22w+137
Quadrat des Betrages des Vektors a
N^2 = 64
daraus
d2^2 = Z^2/N^2 = v^2+w^2 - 8v -22w+137
Setzen wir nun die Bedingung d1^2 = d2^2 in die Tat um
und vereinfachen gehörig, so erhalten wir
als Gleichung der Quadrik, welche vom laufenden Punkt P(u/v/w)
beschrieben wird; sie lautet:
2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Diese Fläche wird mit der Geraden u = b , v =1 , w = 0
geschnitten.
( corrigenda:die Gleichung von mm lautet x = b, y = 1 , z = 0,
nicht x = b, y = 0 , z = 1 wie im letzten Beitrag angegeben wurde!)
Die beiden reellen b-Werte der quadratischen Gleichung
b^2 – 20 b + 2 = 0
liefern die beiden gesuchten Mittelpunkte der Kugeln.
Damit sind die Kugeln an ihr Ziel gerollt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Dezember, 2004 - 04:16: |
|
@habac:
Lange habe ich überlegt, was
n1:y-z=0
bedeuten soll…
bis ich drauf gekommen bin, dass ein Tippfehler vorliegt:
die Gleichung der Normalebene lautet:
y-z=1
Irritiert hat mich die Bezeichnung n1 für Normalebene,
n1 würde ich eher für einen Normalvektor als für eine Ebene verwenden.
Herzlichen Gruß
elsa |
Habac (Habac)
Junior Mitglied
Benutzername: Habac
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Dezember, 2004 - 08:41: |
|
@Elsa
sorry, es war ein Schreibfehler, richtig ist natürlich: y - z = 1.
Normalerweise nehme ich für Ebenen griechische Buchstaben. Ich dachte, mit der vorausgehenden Zeile "Normalebene zu g durch M:" sei klar, dass jetzt die Gleichung einer Ebene folgt, aber wenn man die Herleitung der Ebenengleichung erwartet, kann die Bezeichnung n1 natürlich verwirren.
Gruss!
habac |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4716
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 14:37: |
|
Hi allerseits
Die Kugelaufgabe von BoM und die präsentierten Lösungen
haben einiges Interesse geweckt; dies ergeben Anfragen,
welche an mich gerichtet wurden.
Dazu das Folgende.
Mir gefiel die von habac dargelegte Version besonders gut.
Sie ist kurz und bündig und benötigt keine Umschweife.
Meine zweite,zuletzt dargestellte Lösung, ist dagegen etwas
monströs.
Sie enthält jedoch eine kleine Perle, die auf Interesse stößt.
Gemeint ist die Gleichung der Fläche zweiter Ordnung, auf
der die Mittelpunkte aller Kugeln liegen, welche die vorgelegten
Tangenten simultan berühren.
Die Gleichung dieser Fläche oder Quadrik lautet:
2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0
In einer neuen Aufgabe der Serie LF soll nach dem Typus
dieser Fläche gefragt werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 20:13: |
|
@megamath:
ich hoffe, ich habe mich nun nicht selbst geirrt,
aber ich glaube, einige Tippfehler entdeckt zu haben,
zumindest habe ich bei meinen Berechnungen teilweise andere Ergebnisse:
… Vektorprodukt p x a = {v-w-9;10-u;10-u}
es müsste heißen:
{v+w-9;10-u;10-u}
****************
… Quadrat des Betrages dieses Vektorprodukts:
Z^2 =2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281
Richtig wäre:
Z^2 =2u^2+v^2+w^2+2vw-40 u -18v-18w+281
****************************************
…daraus
d1^2 = Z^2/N^2 = ½ [2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281]
es müsste heißen:
d1^2 = Z^2/N^2 = ½ [2u^2+v^2+w^2+2vw-40 u -18v-18w+281]
**************************************************
… Gleichung der Quadrik:
2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0
es müsste heißen:
2 u^2 – v^2 – w^2 + 2 v w – 40 u – 2v + 26 w + 7 = 0
********************************************
demnach müsste auch in der LF 600 die Gleichung
2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0
so lauten:
2 u^2 – v^2 – w^2 + 2 v w – 40 u – 2v + 26 w + 7 = 0
********************************************
Herzliche Grüße
elsa
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4718
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 21:05: |
|
Hi elsa
Besten Dank für Deinen Warnruf!
Deine Entdeckungsreisen nach Tippfehlern sind legendär,beonders auch deshalb,
weil sie regelmässig von Erfolg gekrönt sind.
Deshalb werde ich auf jeden Fall morgen alles genau überprüfen.
Vielleicht machen andere Helfer mit.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4719
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 08:20: |
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Hi allerseits
Die in meinem Beitrag erwähnte Gleichung der Quadrik
muss so korrigiert werden, wie elsa beschrieben hat.
Nochmals besten Dank für den Hinweis!
Die Gleichung lautet also nach erfolgter Korrektur:
2 u^2 – v^2 – w^2 + 2 v w – 40 u – 2 v + 26 w + 7 = 0
Bei der Aufgabe LF 600 soll nichts verändert werden,
da die Korrektur nichts Wesentliches am Typus der Fläche ändert.
Außerdem ist die Aufgabe gemäß dem Urtext bereits teilweise
gelöst worden.
Es hat sich bei der Berechnung der Gleichung der Fläche
zweiter Ordnung ein Vorzeichenfehler breit gemacht und
entsprechend durchgesetzt.
Er ist bei der Berechnung des Vektorprodukts p x a zur
Ermittlung des Abstandes (P,g) entstanden.
Dieses Produkt lautet richtig so: p x a ={v+w-9;10-u;10-u}.
Dies wirkt sich in der Schlussgleichung nur auf die
Koeffizienten von Termen aus, in denen w auftritt.
Da beim Schnitt der Fläche mit der Geraden mm
w= 0 gesetzt werden muss, erhalten wir SO oder SO
die richtige quadratische Gleichung!
b^2 – 20 b + 2 = 0
zur Ermittlung des Parameters b; hihi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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