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Musikus (Musikus)
Junior Mitglied
Benutzername: Musikus
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 18:16: | 
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Hallo leute!!!
Ich weiß einfach nicht mehr weiter.
Darum brauche ich eure hilfe bei zwei Stammfunktionen.
1) òx3/((1-x2)1/2)
2) òx2*((1+x)1/2)
ich habs schon mit Substitution probiert, aber es bleibt immer ein x im integral übrig.
wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
danke.
euer Musikus |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 444
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:54: |
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mal ein Versuch:
1)
S x³/(1-x²)^(1/2) dx
Substitution: (1-x²)^(1/2)=a
(1-x²)^(1/2)=a
1-x²=a²
x²=1-a²
x=(1-a²)^(1/2)
S (1-a²)^(1/2)³/a dx
dx/da=-2a/2*(1-a²)^(1/2)=-a/(1-a²)^(1/2)
S (1-a²)^(3/2)/a*(-a)/(1-a²)^(1/2) da
S -(1-a²)^(3/2)/(1-a²)^(1/2) da
S a²-1 da
a³/3-a
(1-x²)^(1/2)=a
(1-x²)^(3/2)/3-(1-x²)^(1/2)
((1-x²)*(1-x²)^(1/2)-3*(1-x²)^(1/2))/3
(1-x²)^(1/2)*(1-x²-3)/3
(1-x²)^(1/2)*(-x²-2)/3
müsste stimmen (mein TI sagt das auch ;) )
mfG
Tux
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 445
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 23:11: |
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dann nochmal ein Versuch
2)
S x²*(1+x)^(1/2) dx
Substitution: a=(1+x)^(1/2)
a=(1+x)^(1/2)
a²=1+x
x=a²-1
S (a²-1)²*a dx
dx/da=2a
S (a^4-2a^2+1)*a*2a da
S 2a^6-4a^4+2a^2 da -- ab hier müsstest du allein klar kommen -- einfach Stück für Stück integrieren und dann für a die richtigen Werte einsetzen...
mfG
Tux
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4700
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 06:42: |
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Hi Musikus
Das ist Musik, Deine beiden Integrale!
Das erste zuerst:
Hier ist die trigonometrische Substitution
x = cos t mit dx = - sin t * dt angebracht.
Der Integrand wird zu
g(t) = - (cos t )^3 * sin t / sin t = - ( cos t )^3
Letzteres formen wir so um:
g(t) = - cos t [ 1 – (sint)^2 ) ] = cos t * (sin t)^2 – cos t
Dies kann man getrost direkt integrieren:
G(t) = 1/3 ( sin t ) ^3 - sin t
Substitution retourniert:
ergibt eine gesuchte Stammfunktion:
F(x) = 1/3 ( 1 – x^2 ) ^ (3/2) - sqrt (1 – x^2 )
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4701
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 07:07: |
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Hi Musikus
Jetzt kommt der zweite Satz;
hier gibt es die verhaltene Substitution in
S-Dur:
sqrt (1+x) = z ; daraus 1 + x = z^2 und
dx = 2 z dz
x^2 = (z^2 – 1)^2
Wir erhalten neu unter dem Integral:
h(z) dz = { 2 z^2 (z^2 - 1)^2 } * dz
oder noch besser:
h(z) dz =
2 * {z^6 – 2 z ^ 4 + z^2 } * dz
Das kannst Du bequem nach z integrieren
und am Schluss die Substitution rückgängig machen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Musikus (Musikus)
Junior Mitglied
Benutzername: Musikus
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 19:36: |
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Ich danke euch allen.
Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen.
euer Musikus |
