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Krader (Krader)
Mitglied
Benutzername: Krader
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 13:01: | 
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Hallo liebe Leute, ich habe da mal ne kleine Frage, vielleicht könnt ihr mir helfen.
f(x)= e^(-2x^2)
wie lautet F(x)?
Und wie würde ich eine e-funktionen generell ableiten, die einen Exponenten haben der höheren Gerades als 1 ist, bzw. eine ganzrationale
Funktion 2,3 oder n-ten gerades?
Bräuchte sehr schnelle hilfe, weil ich am mittwoch, den 08.12.04 meine erste sechs-stündige Matheklausur schreibe.
Vielen Dank im vorraus
Krader |
Krader (Krader)
Mitglied
Benutzername: Krader
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:07: |
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Meinte nicht generell ableiten sondern intergrieren. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1661
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:26: |
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Hallo Krader
Deine Funktion lässt sich nicht integrieren. Bzw. es lässt sich kein geschlossener Ausdruck für F(x) angeben. Und das wird normalerweise bei noch komplizierteren Funktionen im Exponenten von e nicht besser.
MfG
Christian |
Krader (Krader)
Mitglied
Benutzername: Krader
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 20:28: |
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Du sagtest kein geschlossener Ausdruck. Ist es denn irgendwie (wenn auch komplizierter) möglich diese Funktion zu integrieren. Man kann diese Funktion ja schließlich auch graphisch darstellen und auch eine Fläche unter ihr, also muss es doch irgendeine Möglichkeit geben diese Fläche rechnerisch zu bestimmen.
LG Krader |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1028
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 11:27: |
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Man kann die Exponentialfunktion als unendliche Reihe darstellen(Stichwort Taylor-Reihe). Das läuft im Prinzip so, daß Du Dir eine Stelle suchst und dann ein Polynom n-ten Grades bestimmst, daß an dieser Stelle dieselben Ableitungswerte hat.
Wenn man dies ins Unendliche fortführt, erhält man unter Umständen eine Darstellung der Funktion als unendliche Reihe. Diese Reihe kann man problemlos integrieren, denn es handelt sich ja um einfache Polynome. Aber auch hier ist es nicht zwingend so, daß die Integaration dieser Reihe auch wieder eine Reihendarstellung einer Stammfunktion der Ausgangsfunktion ist.
Beispiel:
ex = S¥ k=0 xk/k! := h(x)
H(x)= c + S¥ k=0 xk+1/(k+1)! = c+h(x)-1
Also ist H(x)=ex+k eine Stammfunktion von ex |
Krader (Krader)
Mitglied
Benutzername: Krader
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 13:55: |
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Was du grundsätzlich meinst habe ich schonmal verstanden, also dafür schonmal dankeschön, aber könntest du mir das an einem konkreten Beispiel mal (kurz:-)) vorführen?
f(x)= x^2*e^(-2x^2)
wie würde jetzt die (unendliche Reihe?) für F(x) aussehen? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1029
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 21:24: |
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Im Prinzip musst Du nur einsetzen.
f(x) = x²e-2x² = x² * S¥ k=0 (-2x²)k/k! = S¥ k=0 (-2)k*x2k+2/k!
Integriert:
F(x) = S¥ k=0 (-2)k*x2k+3/(k!(2k+3)) |
Korrel (Korrel)
Neues Mitglied
Benutzername: Korrel
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2005
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 01:37: |
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Etwas spät ;) aber:
Man kann das Integral z.b. in den Grenzen -infty bis +infty integrieren. Das Ergebnis ist Wurzel(pi/2).
Dazu das Quadrat vom Integral betrachten: Einmal
über x integrieren und einmal über y, nach Satz
von Fubini kann man dann über den ganzen R²
integrieren, die Integrale also zu einem
Flächenintegral über dxdy zusammenfassen.
Im Exponent kommt dann x^2+y^2 vor.
Führt man Polarkoordinaten ein (x durch r cos p
und y durch r sin p substituieren, dann wird x^2+y^2 zu r, ausserdem wird das flächenelement dxdy zu r drdp, wegen der funktionaldeterminante), dann ändern sich die grenzen zu 0 bis infty und 0 bis 2pi. jetzt kann man durch das gewonnene r
einfach die stammfunktion angeben und die grenzen
einsetzen.
Eine andere Methode: man kann das Ding als komplexe Funktion betrachten (sie ist holomorph), über geeignete Teil-Kurvenintegrale in der Komplexen Ebene und unter Anwendung des Cauchy Integralsatz kommt man glaub ich auch irgendwie zum Ziel... |
