| Autor |
Beitrag |
    
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 436
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 10:44: | 
|
hallo,
noch ein problem (ich weiss das es auch anders zu lösen ist)
für welchen wert von p berührt die kugel x²+y²+z²+2x+3y+4z+p=0 die x-achse?
zu 1: Mittelpunkt der kugel M(-1|-3/2|-2)
2: Normalenvektor der x-achse: n(0|1|1)
3:
HNF (x-(3|0|0)) * (0|1|1)/wurzel(2) = d
x= m
da komme ich auf d= -3,5/wurzel(2) = radius
radius² = -p+29/4
und das nach p aufgelöst ergibt p=9/8.
das ist aber nicht korrekt es sollte p = 1 herauskommen?!?!
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2536
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 11:17: |
|
radius² = (-3/2)²+2² = (9+14)/4 = 25/4
dann
kommt p=1 heraus
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 437
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 11:53: |
|
wo ist jetzt mein fehler?
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4669
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 16:25: |
|
Hi Detlef
Ich zeige Dir zwei Methoden, mit denen Du Deine
Aufgabe lösen kannst.
1.Methode.
Diskriminantenmethode.
Schneide die Kugel mit der x-Achse.
Diese Koordinatenachse hat die simultan
geltenden Gleichungen y = 0 , z = 0.
Setze diese Relationen in die Kugelgleichung ein.
Du bekommst die quadratische Gleichung
x^2 + 2 x + p = 0
Wegen der Berührung der Kugel und der x-Achse
ist die Diskriminante D = 4 – 4 p null,
daraus folgt sofort p = 1.
Oder Du zerlegst
x^2 + 2 x + p in zwei gleiche Linearfaktoren;
Resultat:
(x+1)*(x+1)
Schluss: p = 1 zum Zweiten!!
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4670
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 18:59: |
|
Hi Detlef
Ich führe Dir (die nahe liegende) 2.Metthode vor:
Ermittlung des Berührungspunktes T der Kugeltangente.
Wir legen durch den Kugelmittelpunkt M(-1/-1,5/-2)
die Normalebene N zur Tangente, d.h. zur x-Achse.
Im vorliegenden Fall ist N die Parallelebene zur (y,z)-Ebene
durch M; ihre Gleichung lautet:
x = - 1.
Der Schnittpunkt von N mit der x-Achse ist der
Berührungspunkt T; es entsteht
T(-1/0/0).
Die Länge der Strecke TM stimmt mit dem Kugelradius r
überein; es gilt r^2 = - p + 1+ 2,25 + 4 = - p + 7,25
Wir quadrieren TM und erhalten die folgende
Gleichung für p:
1,5 ^ 2 + 2^2 = - p + 7,25
Lösung wiederum p = 1.
In einem dritten Teil folgen ein paar Bemerkungen zu Deinem
Lösungsversuch.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4671
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 19:15: |
|
Hi Detlef
Du hast Dich auf „Normalenvektoren der x-Achse“ fixiert,
und das hat Deine Lösung von Anfang an paralysiert.
Auch ein kleiner Ausflug zu einem andern Forum (!)
brachte Dich nicht weiter.
Merke
Räumliche, d.h. stereometrische Überlegungen zeigen
sofort:
hier hilft der Begriff der Normalebene weiter, wie so oft.
Ebenso entstand eine Blockade bei der fixen
Idee, hier die Abstandformel von Hesse anwenden zu wollen.
Merke:
Diese Methode ist höchstens dann am Platz, wenn es darum geht,
den Abstand eines Punktes von einer EBENE zu ermitteln.
Ich glaube, damit ist das Allernötigste gesagt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 438
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 15:22: |
|
vielen dank für die erklärungen!
aber es muss doch auch möglich sein, den abstand von einem punkt zu einer ebene zu bestimmen oder nicht?
(interessiert mich für andere beispiele)
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4674
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 08:25: |
|
Hi Detlef
In Deiner letzten Anfrage ist wohl eine Korrektur
anzubringen.
Ich nehme an, Du meinst den Abstand Punkt – Gerade
und nicht, wie geschrieben steht, Punkt - Ebene.
Zur Sache:
In der Regel wird der Abstand Punkt – Gerade mit einer
Regel berechnet, in der ein gewisses Vektorprodukt eine
Rolle spielt. Diese Methode sollte im Unterricht behandelt
werden.
Ich verzichte hier darauf, diese zu erklären
und zu benützen.
Ich zeige Dir an einem nicht ganz einfachen numerischen
Beispiel, wie man es anders machen kann und wähle
einen andern Weg, der auch zum Ziel führt.
Gegeben sind drei Punkte P(2/-2/7)
Q(5/2/3),R(4/0/5).
Die Punkte Q und R bestimmen die Gerade g.
Berechne den Abstand a des Punktes P von g.
Lösung
Wir bestimmen einen Richtungsvektor v von g:
Vektor v = Verbindungsvektor QR:
v= {-1;-2;2}
Nun legen wir durch P eine Ebene E, die zu g
senkrecht steht; E ist eine so genannte
Normalebene zu g.
Von der Koordinatengleichung von E kennen wir
bereits die Koeffizienten der Variablen x , y , z:
sie stimmen mit den Koordinaten (Komponenten)
des Vektors v überein.
Daher setzen wir als Gleichung für E folgendes an:
E: - x – 2 y + 2 z + d = 0
Die Konstante d finden wir so:
Da E durch P geht, erfüllen die Koordinaten von P
die Ebenengleichung; wir setzen diese Koordinaten
in der Ebenengleichung ein.
Es muss gelten:
- 2 + 4 + 14 + d = 0 , daraus d = - 16.
Gleichung von E endgültig:
- x – 2 y + 2 z – 16 = 0 oder auch
x + 2 y – 2 z + 16 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Grundidee:
Wir ermitteln den Schnittpunkt F von g mit der Ebene E.
a ist dann der Abstand der Punkte P und F: a = PF.
Eine Parametergleichung von g mit t als Parameter
lautet in skalarer Form:
x = 5 - t
y = 2 - 2 t
z = 3 + 2 t
Dies setzen wir in E ein und lösen die Gleichung nach t auf:
5 – t + 4 – 4 t – 6 – 4 t + 16 = 0, daraus t = 19 / 9
Mit der Geradengleichung erhalten wir durch Einsetzen
dieses Wertes für t:
xF = 26 / 9, yF = - 20 / 9 , zF = 65 / 9
Abstand a = PF:
a^2 = 64/81 + 4/81 + 4/81 = 72 / 81 = 8 / 9
a = 2 * sqrt(2) / 3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4675
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 13:33: |
|
Hi Detlef
Ich zeige Dir doch noch eine Kurzlösung der Aufgabe
aus meinem letzten Beitrag.
Wir berechnen im Dreieck PQR die Höhe h zur Seite QR.
Diese stimmt mit dem gesuchten Abstand a überein.
Um h zu bestimmen, dividieren wir die doppelte
Fläche 2A des Dreiecks PQR durch die Länge s
der Seite QR
2A berechnen wir als den Absolutbetrag des
Vektorprodukts der Vektoren
QP = {3;4;-4} und
QR = {-1;-2;2}
Vektorprodukt QP x QR = {0;-2;-2}
Betrag davon sqrt(8) = 2*sqrt(2)
also 2A = 2*sqrt(2)
s = Betrag des Vektors QR = 3
Damit kommt h = a = 2/3 * sqrt(2),wie vordem
Der Rechenaufwand ist merklich geringer!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 440
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:51: |
|
ok, vielen dank!
detlef |
|
