| Autor |
Beitrag |
    
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 431
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 11:50: | 
|
hallo,
habe eine kugelgleichung :
x²+y²+z²-4x-5y+6z+p = 0 und für welchen wert p hat die kugel keinen spurkreis in der ebene?
das ist ja der fall, wenn die kugel die ebene nur berührt! deshalb wollte ich den abstand des mittelpunkts zur ebene bestimmen und den als radius nehmen!
nun brauche ich nur einen normalenvektor der ebene?! ist das so richtig?
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2534
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 13:25: |
|
Umformung mit quadratischen Ergänzungen ergib
(x-2)²+(y - 5/2)² + (z+3)² = 5/4 - p = r²
da der Mittelpunkt = ( 2; 5/2; -3) von der xz Ebene
5/2 entfernt ist
muß r < 5/2 sein also r²< 25/4
also
5/4 - p < 25/4, p > -5
und
weil 5/4 - p > 0 gelten muß
-5 < p < 5/4
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 432
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 13:32: |
|
hmm..wieso ist der abstand 5/2? könnte ich das auch über hessesche normalenform berechnen, zum beweisen?
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4665
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 20:33: |
|
Hi Detlef
Du kannst alle diese Fragen
(nach einem Normalenvektor,nach der Abstandsformel
von Hesse) beiseite lassen,
wenn Du folgendermaßen vorgehst:
Schneide die Kugel mit der (x,z)-Ebene, welche die
Gleichung y = 0 hat
Die Gleichung des Schnittkreises k lautet (setze in der
Kugelgleichung y = 0 ein):
x^2+z^2- 4x+6z+p = 0
Mit quadratischer Ergänzung erhält man:
(x-2)^2 + (z+3)^2 = - p + 4 +9
Rechts steht das Quadrat R^2 des Schittkreises k.
Im Fall R^2 < 0 , d.h. für p > 13
existiert kein Schnittkreis!
Für p = 13 erhalten wir mit R = 0 einen so genannten
Nullkreis, hier: den Berührungspunkt B(2/0/-3)der Kugel
mit der (x,z)-Ebene.
Für p > 13 gibt es reelle Schnittkreise.
Zum Schluss möchte ich ein persönliches Anliegen vorbringen:
Ich würde es begrüßen, wenn Du Dich bei Deinen Helfern, z.B.
bei Friedrich Laher, gebührend bedankst, statt ein nichts
sagendes hmm anzubringen!
Besten Dank zum Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 434
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 21:55: |
|
ja, danke! (das ist aber ein seltener fall, dass ich mich nicht bedankt habe)
möchte nur, um vom gedankengang richtig zu sein, wissen, ob es auch mit hesse gehen würde?
detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4666
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 06:44: |
|
Hi Detlef,
Die Kirche ist wieder im Dorf!
Ich zeige Dir auf vielfachen Wunsch Deinerseits,
wie man in diesem Fall die Abstandsformel von Hesse
anwenden könnte.
Sie wurde bisher nicht eingesetzt, weil man damit
offene Türen einrennt.
Die Gleichung der (x.z)-Ebene
lautet y = 0 oder ausführlicher:
0 *x + 1 * y + 0 * z = 0
Wir schreiben diese Gleichung in der Normalform;
dies geschieht dadurch, dass wir die Gleichung mit dem
bekannten Hesseschen Divisor
H = sqrt (0^2 + 1^2 + 0^2) = 1 (!!!) dividieren.
Somit lautet die Gleichung der (x,z)-Ebene in NF y/1 = 0; einfacher geht es nicht!
Setzen wir die Koordinaten xM=2, yM = 2,5, zM = -3
in der linken Seite der NF ein, so kommt als Abstand
d = 2,5; genau so, wie es sein muss.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4667
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 07:00: |
|
Hi Detlef
Im Beitrag von Friedrich Laher hat sich ein Fehler
eingeschlichen.
Die quadratische Ergänzung der Kugelgleichung muss heißen:
(x-2)^2+(y - 5/2)^2 + (z+3)^2 = 4 +25/4+9 - p
Rechts steht das Quadrat r^2 des Kugelradius.
Damit der Schnittkreis imaginär wird (nicht existent!),
setzen wir an:
r^2 < d^2 mit d = 5/2
(siehe in meiner vorausgehenden Arbeit nach)
Das führt zur Bedingung
13 – p < 0 oder
p > 13, wie weiter oben schon notiert wurde.
Dort korrigieren wir noch:
„Für p < 13 gibt es reelle Schnittkreise“.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 435
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 10:28: |
|
vielen dank!
mein problem war eine falsche ebenengleichung der x-z-ebene:-(
habe auch die einfache variante verstanden nur wollte ich die andere auch anchrechnen!
detlef |
|
