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Rosalie (Rosalie)
Neues Mitglied Benutzername: Rosalie
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 16:14: |
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Hallo, es gilt ja die Beziehung: (sinx)^2 + (cosx)^2= 1 Für sehr kleine x kann man auch schreiben sin x = x Also folgt daraus (für diesen Grenzfall): x^2 + (cosx)^2 = 1 Jetzt steht in meiner Aufgabe, dass man cos x (für kleine x) auch schreiben kann als: a0 + a1 * x + a2 * (x^2) Wie muss ich die Koeffizienten a0, a1, a2 wählen, damit die Relation x^2 + (cosx)^2 = 1 erfüllt wird?? Weiß jemand wie ich da vorgehen soll? THX! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4651 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 09:37: |
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Hi Rosalie Du hast gut angefangen! Die Fortsetzung geht so: Da die Funktion f(x) = cos x eine gerade Funktion ist, gilt a1 = 0. Ferner ist f(0) = 1; daraus folgt ao = 1. ! Gehe nun mit dem vereinfachten Ansatz cos x = 1 + a2 * x^2 in den Term x^2 + (cosx)^2 = 1; es entsteht: x^2 + (1 + a2 * x^2) ^ 2 = 1 Wir lösen die Klammern, heben die Eins links und rechts weg und dividieren mit x^2 (nicht null). Wir erhalten damit: 1+2*a2 + a2^2 * x^2 = 0 Diese Beziehung ist als Identität in x aufzufassen, gültig für kleine Absolutwerte von x. Im Sinne der gewünschten Näherung wird der letzte Summand als von höherer Ordnung klein weggelassen und es bleibt: 1+2*a2 = 0, somit : a2 = - ½ Dieses Resultat entspricht auch dem Beginn der Taylorentwicklung der Kosinusfunktion mit Zentrum 0. Diese lautet (bekanntlich?): cos x = 1 – x^2 / 2! + x^4/4! – x^6/6! +… Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4652 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 10:04: |
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Hi Rosalie Du kannst Deine Aufgabe zum Spaß auch mit Hilfe der Differentialrechnung lösen, indem Du gewisse identische Forderungen an die Kosinuskurbe y = cos x einerseits und die Parabel Y = ao + a1 x + a2 x^2 andrerseits für x = 0 stellst: Beide Kurven gehen durch denselben Punkt S(0/1) und stimmen daselbst in der ersten und zweiten Ableitung überein. Kosinusfunktion: y = cos x; y(0) = 1 y´= - sin x ; y´(0) = 0 y´´= - cos x ; y´´(0) = - 1 Quadratische Funktion: Y = ao + a1 x + a2 x^2; Y(0) = ao Y´= a1 + 2 a2 x ; Y´(0) = a1 Y´´= 2 a2 ; Y´´(0) = 2 a2 Das hat folgende Konsequenzen: ao = 1, a1 = 0 , a2 = - ½ °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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