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Rosalie (Rosalie)
Neues Mitglied
Benutzername: Rosalie
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 16:14: | 
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Hallo,
es gilt ja die Beziehung:
(sinx)^2 + (cosx)^2= 1
Für sehr kleine x kann man auch schreiben
sin x = x
Also folgt daraus (für diesen Grenzfall):
x^2 + (cosx)^2 = 1
Jetzt steht in meiner Aufgabe, dass man cos x (für kleine x) auch schreiben kann als:
a0 + a1 * x + a2 * (x^2)
Wie muss ich die Koeffizienten a0, a1, a2 wählen, damit die Relation
x^2 + (cosx)^2 = 1 erfüllt wird??
Weiß jemand wie ich da vorgehen soll?
THX! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4651
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 09:37: |
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Hi Rosalie
Du hast gut angefangen!
Die Fortsetzung geht so:
Da die Funktion f(x) = cos x eine gerade
Funktion ist, gilt a1 = 0.
Ferner ist f(0) = 1; daraus folgt ao = 1.
!
Gehe nun mit dem vereinfachten Ansatz
cos x = 1 + a2 * x^2 in den Term
x^2 + (cosx)^2 = 1; es entsteht:
x^2 + (1 + a2 * x^2) ^ 2 = 1
Wir lösen die Klammern, heben die Eins links
und rechts weg und dividieren mit x^2 (nicht null).
Wir erhalten damit:
1+2*a2 + a2^2 * x^2 = 0
Diese Beziehung ist als Identität in x aufzufassen,
gültig für kleine Absolutwerte von x.
Im Sinne der gewünschten Näherung wird der
letzte Summand als von höherer Ordnung klein
weggelassen und es bleibt:
1+2*a2 = 0, somit :
a2 = - ½
Dieses Resultat entspricht auch dem Beginn der
Taylorentwicklung der Kosinusfunktion mit Zentrum 0.
Diese lautet (bekanntlich?):
cos x = 1 – x^2 / 2! + x^4/4! – x^6/6! +…
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4652
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 10:04: |
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Hi Rosalie
Du kannst Deine Aufgabe zum Spaß
auch mit Hilfe der Differentialrechnung lösen,
indem Du gewisse identische Forderungen an die
Kosinuskurbe y = cos x einerseits
und die Parabel Y = ao + a1 x + a2 x^2
andrerseits für x = 0 stellst:
Beide Kurven gehen durch denselben Punkt S(0/1)
und stimmen daselbst in der ersten und zweiten
Ableitung überein.
Kosinusfunktion:
y = cos x; y(0) = 1
y´= - sin x ; y´(0) = 0
y´´= - cos x ; y´´(0) = - 1
Quadratische Funktion:
Y = ao + a1 x + a2 x^2; Y(0) = ao
Y´= a1 + 2 a2 x ; Y´(0) = a1
Y´´= 2 a2 ; Y´´(0) = 2 a2
Das hat folgende Konsequenzen:
ao = 1, a1 = 0 , a2 = - ½
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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