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Marcel1985
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 16:30: | 
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Durch die Abbildungsgleichungen ist eine Abbildung definiert. Bestimmen Sie die Fixpunkte und Fixgeraden der Abbildung mit den Gleichungen
x'(1)= x(2)
x'(2)= x(1)+x(2)
die Zahlen in Klammern sollen tiefgestellt sein; ich bitte euch mir schnell zu antworten und möglichst detailliert
Danke!!!! |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. November, 2004 - 12:42: |
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Hi Marcel
Wir arbeiten nicht gerne unter Zeitdruck!
Daher die Bitte:
Stellt die Aufgaben rechtzeitig ins Forum.
Zuerst stellen wir die Abbildungsgleichungen
übersichtlicher dar.
P (x / y) sei ein Originalpunkt,
P´(x’ / y´) der zugehörige Bildpunkt.
Dann gilt:
x´= y
y´= x + y………………………………………………………………….(I)
Auflösung nach x , y liefert die Umkehrabbildung
x = - x ´+ y´
y = x´……………………………………………………………………….(II)
Wir postulieren nun, die Ursprungsgerade g
mit der Gleichung y = m x sei eine Fixgerade.
Man sucht die Steigung m.
Wir setzen die Beziehungen aus (II) bei
y = mx ein und erhalten
als Gleichung der Bildgeraden g´:
x´= m (- x ´+ y´) ; nach y´ aufgelöst:
y´= (1 + 1/m) x´.
Soll diese Bilgerade g mit dem Original zusammenfallen,
so muss die Gleichung gelten
1 + 1/m = m oder
m^2 – m – 1 = 0; die Lösungen sind:
m1 = ½ [sqrt(5) +1]
m2 = - ½ [sqrt(5) - 1]
Das sind Terme, die uns bei der Teilung nach dem
goldenen Schnitt begegnen.
Wir setzen zur Abkürzung
½ [sqrt(5) +1] = t
½ [sqrt(5) - 1] = s
Damit erhalten wir die beiden Fixgeraden
f1: y= r x und
f2: y = - s x
Als Fixpunkt F tritt der Nullpunkt O auf, wie man leicht
bestätigt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. November, 2004 - 16:17: |
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Hi Marcel
Deine Aufgabe kann auch dadurch gelöst werden,
dass wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der
Abbildungsmatrix
A = [[(0,1),(1.1)]] ermitteln.
Die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte
L1, L2 lautet:
L^2 – L – 1 = 0
Die Lösungen sind
L1 = ½ [sqrt(5) +1] = t
L2 = - ½ [sqrt(5) - 1] = - s
Eigenvektoren e1,e2
zu L1=t: e1 = {1; t}
zu L2=-s: e2 = {1;-s}
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. November, 2004 - 18:27: |
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Hi allerseits
Vielleicht interessiert sich jemand dafür,
welcher Abbildungstypus vorliegt.
Welches ist Eure Meinung?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 07:00: |
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Hi allerseits
Es handelt sich bei der vorliegenden Aufgabe
um eine Eulersche Affinität.
Dies kann mit einem einfachen Kriterium begründet
werden; dieses lautet:
Eine Affinität, welche (wenigstens) einen Fixpunkt
und zwei linear unabhängige Eigenvektoren hat,
ist eine Eulersche Affinität.
Diesen Nachweis haben wir im letzteren Beitrag
erbracht.
Eine einfache Untersuchung zeigt weiter, dass die
gegebene Abbildung eine gegensinnige Affinität ist,
welche also den Drehsinn umkehrt.
Sie ist außerdem flächentreu; bravo!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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