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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 404
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. November, 2004 - 11:28: | 
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hallo
folgendes problem:
t ist tangente an k in B; Mittelpunkt(-1/2) und Radius = 3
A(5/-4)
gesucht ist t1 und t2!
also B bildet mit A die tangenten! ich weiss nicht wie ich anfangen soll!
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 997
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 11:11: |
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wenn man das irgendwie interpretieren kann, dann
ist A einfach ein Punkt, durch welchen die Tangente ebenfalls geht, und davon gibt es genau 2;
bestimme die Tangentenpunkte von Geraden welche durch A gehen;
fertig.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 405
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 19:54: |
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hmm,ich weiss nicht, wie ich die gleichung der tangenten aufstellen kann, habe ja nicht B(berührpunkt der tangenten an kreis) ! wie mache ich das?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 406
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 19:56: |
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der punkt A ist irgendein punkt, der auch die tangentengleichung erfüllt!
detlef |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 20:20: |
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Hallo Detlef,
Probier mal folgenden Ansatz:
Allgemeine Kreisgleichung mit Mittelpunkt (c;d)und dem Radius r
(x-c)^2+ (y-d)^2=r^2
Dein Mittelpunkt M (-1;2) und Radius r=3
( x-(-1))^2 + (y-2)^2=9
=> x^2+2x+1+y^2-4y+4=9 |-9
x^2+2x+y^2-4y-4=0
Das ist die Gleichung deines Kreises mit den vorgebenen Eigenschaften.
Tangente an den Kreis heisst, dass die Tangente im Punkt B diesselbe Steigung bzw. den selben Punkt wie der Kreis k hat.
Gleichung fuer Tangente t in Punkt P1(hier B):
(x-c)*(x1-c)+(y-d)*(y1-d)=r^2
Einsetzen deiner Bedingungen:
(x-(-1))*(x1-(-1))+(y-2)*(y1-2)=9
(x+1)*(x1+1)+(y-2)*(y1-2)=9
Der Punkt A ist vorgeben (5;-4), also muss er wahrscheinlich ausserhalb des Kreises liegen:
Hier koennte man den Punkt B als Abstand zwichen A und B betrachten.
Also, hier muss ich noch bisschen ueberlegen, aber jedenfalls fertige dir mal eine Skizze an.
Gruss,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1239
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 22:25: |
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Hallo,
von A aus kann man zwei Tangenten an den Kreis k legen, die diesen in den Punkten B1 und B2 berühren.
Die Verbindungsgerade p dieser zwei Punkte B1 und B2 heisst Polare und sie erhält man, wenn man den Punkt A in die Spaltformel einsetzt:
k: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9
p:
(5 + 1)*(x + 1) + (-4 - 2)*(y - 2) = 9
6x + 6 - 6y + 12 = 9
2x - 2y + 3 = 0
y = x + (3/2)
Diese Gerade p nun mit dem Kreis schneiden, damit erhalten wir die Berührungspunkte B1, B2 und in weiterer Folge die Tangenten.
(x + 1)^2 + (x - (1/2))^2 = 9
x^2 + 2x + 1 + x^2 - x + (1/4) - 9 = 0
2x^2 + x - (31/4) = 0
x^2 + x/2 - (31/8) = 0
x1,2 = (1/4)*(-1 +/- sqrt(66))
einsetzen in: y = x + (6/4)
y1,2 = (1/4)*(5 +/- sqrt(66))
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 998
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 22:33: |
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(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3^2
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 9
x^2 + 2x + y^2 - 4y = 4
jedes Paar (x,y) das diese Gleichung erfüllt liegt auf der Kreislinie; auch Deine 2 Tangentenpunkte, 2 Tangentenpunkte genau deswegen, weil A außerhalb liegt und nicht auf der Kreislinie selbst, da wäre A der Tangentenpunkt; 0 wären es wenn A innerhalb wäre;
ich setze als Tangentenpunkt mal B(xb|yb) allgemein an;
jetzt kannst Du 2 Vektoren bilden von A nach B und von M nach B;
AB = (xb-5; yb+4)
MB = (xb+1; yb-2)
AB ... Tangentialvektor
MB ... Radialvektor
deren Skalarprodukt muß 0 sein, daher
(xb-5)(xb+1) + (yb+4)(yb-2) = 0
xb2 - 4xb - 5 + yb2 + 2yb + 2 = 0
xb2 - 4xb + yb2 + 2yb = 3
da B auf der Kreislinie liegen muß, muß auch folgendes gelten:
xb2 + 2xb + yb2 - 4yb = 4
damit hast Du jetzt 2 Quadratische Gleichungen in 2 Variablen, welche direkt in eine lineare "verwandelt" werden kann:
6xb - 6yb = 1
xb - yb = 1/6
xb = yb + 1/6
das in eine der beiden einsetzen
(yb + 1/6)2 + 2(yb + 1/6) + yb2 - 4yb = 4
2yb2 - 5/3yb + (13-144)/36 = 0
yb2 - 5/6yb + (13-144)/72 = 0
yb1,2 = 5/12 +/- sqrt( 25/144 - 26/144 + 288/144 )
yb1,2 = 5/12 +/- sqrt( 287/144 )
frogts mi net warum do net sqrt( 289/144 ) = 17/12 steht 
yb1,2 = 5/12 +/- sqrt( 287 )/12
=>
xb1,2 = 7/12 +/- sqrt( 287 )/12
Des müsst es sein 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 999
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 22:49: |
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Zur Gegenprobe, Einsetzen in die andere Gleichung:
(yb + 1/6)2 - 4(yb + 1/6) + yb2 + 2yb = 3
2yb2 - 5/3yb + (1-24-108)/36 = 0
2yb2 - 5/3yb - 131/36 = 0
damit steht des selbe wieder da
@mythos Dein Ergebnis is ma etwas suspekt, was stimmt jetzt?
Mainzi Man,
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1241
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 23:14: |
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@Mainzi
mach mal a Skizze mit den Angaben, dann siehst schon, dass deine Berührungspunkte nicht stimmen können ... wo der Fehler bei dir oder ggf. auch bei mir liegen könnte, ist mir im Moment unbekannt, bin heute aber zum Suchen schon zu müde...
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1000
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 23:49: |
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@mythos: hab den Bug
(xb-5)(xb+1) + (yb+4)(yb-2) = 0
ergibt nicht
xb2 - 4xb - 5 + yb2 + 2yb + 2 = 0
sondern
xb2 - 4xb - 5 + yb2 + 2yb - 8 = 0
das weiter dann
xb2 - 4xb + yb2 + 2yb = 13
und die Kreisgleichung:
xb2 + 2xb + yb2 - 4yb = 4
damit ergibt des:
-6xb + 6yb = 9
-xb + yb = 9/6 = 3/2
yb = xb + 3/2
damit kommt genau die selbe Gerade heraus wie wenn man direkt in die Polarengleichung eingesetzt hätte;
jetzt in die Kreisgleichung eingesetzt:
xb2 + 2xb + (xb + 3/2)2 - 4(xb + 3/2) = 4
2xb2 + xb - 31/4 = 0
damit steht die selbe Gleichung da, wie bei mYthos;
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 407
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:49: |
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hmm, vielen dank, die lösung von mainziman habe ich nachvollziehen können ,aber ich weiss nicht, was diese polaren sind und welche vorteile die zum rechnen haben? was ist dieses spaltprodukt?
detlef
(Beitrag nachträglich am 22., November. 2004 von detlef01 editiert) |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 409
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 18:26: |
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hallo,
als lösung kommt aber nicht
x1,2 = (1/4)*(-1 +/- sqrt(66))
sondern
x1,2 = (1/4)*(-1 +/- sqrt(63))
heraus! oder?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1002
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 19:21: |
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2x2 + x - 31/4 = 0
x2 + 1/2 x - 31/8 = 0
x1,2 = -1/4 ± sqrt( 1/16 + 31/8 )
x1,2 = -1/4 ± sqrt( 1/16 + 62/16 )
x1,2 = -1/4 ± sqrt( ( 1 + 62 )/16 )
x1,2 = -1/4 ± sqrt( 63 )/4
x1,2 = 1/4 * ( -1 ± sqrt( 63 ) )
Jo, da hat sich a Fehler oben eingeschlichen
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 410
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 19:51: |
|
ok, danke! konnte ich das halt nochmal gut nachvollziehen! nur abschreiben bringt ja nix!
möchte das mit dieser polaren noch verstehen, wie kann das bewiesen werden, dass es möglich ist?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1003
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 21:43: |
|
Hi,
wenn Du genau schaust, siehst Du, daß ich des indirekt durch meine Variante gezeigt hab
=> Skalarprodukt:
(xb-5)(xb+1) + (yb+4)(yb-2) = 0
xb2 - 4xb + yb2 + 2yb = 3
xb2 - 4xb + 4 + yb2 + 2yb + 1 = 3 + 4 + 1
(xb - 2)2 + (yb + 1)2 = 8
das ist ein Kreis mit Mittelpunkt (2|-1)
und die Polare ist genau die Gerade auf welcher der Schnitt dieser beiden Kreise, dem gegebenen, und dem durch das Skalarprodukt entstandenen, liegt;
(Beitrag nachträglich am 22., November. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 411
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 14:39: |
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hmm..das habe ich noch nicht verstanden, wie lautet denn die polare nun?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1004
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 16:10: |
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Schau mal auf den Eintrag vom
22. November, 2004 um 00:49, und da in der Mitte etwa "damit ergibt des:"
polare: -6xb + 6yb = 9
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 415
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 14:07: |
|
verstehe die theorie noch nicht so ganz:
also die punkte (die berührpunkte der tangenten) erhalte ich aus den schnittpunkten des "orginalkreises" und der kreis von skalarprodukt der tangente und normalen dazu?
wie kann man das denn ablesen, die polaren, also wie hat das mythos gemacht?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 416
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 14:12: |
|
habe gerade was entdeckt...jetzt frage ich mich nur noch, was die spaltformel ist? auf mythos post!
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1006
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 15:25: |
|
Ich habe mir die Tatsache, daß Radialvektor und Tangentialvektor zueinander orthogonal stehen zu Nutze gemacht;
das ganze allgemein, dann wird es klarer:
kreis: ( x - xm )2 + ( x - ym )2 = r2
Mittelpunkt des Kreises: M( xm | ym )
Radius des Kreises: r
Punkt durch den die Tangente(n) verlaufen soll:
A( xa | ya )
der Tangentenpunkt T allgemein: T( xt | yt )
jetzt kann man 2 Vektoren konstruieren:
AT = ( xt - xa; yt - ym )
MT = ( xt - xm; yt - ym )
AT ... Tangentialvektor
MT ... Radialvektor
weil diese beiden zueinander orthogonal sind, gilt:
skalarprod.: ( xt - xa )( xt - xm ) + ( yt - ya )( yt - ym ) = 0
weil T eben auch auf der Kreislinie liegt gilt auch:
kreis: ( xt - xm )2 + ( xt - ym )2 = r2
nach ausmultiplikation ergibt sich folgendes:
xt2 - xaxt - xmxt + xaxm + yt2 - yayt - ymyt + yaym = 0
und
xt2 - 2xmxt + xm2 + yt2 - 2ymyt + ym2 = r2
durch Subtraktion beider Gleichungen heben sich die Terme xt2 und yt2 weg
-xmxt + xm2 - ymyt + ym2 + xaxt - xaxm + yayt - yaym = r2
jetzt geeignet zusammenfassen und faktorisieren:
-xm(xt - xm) - ym(yt - ym) + xa(xt - xm) + ya(yt - ym) = r2
was sich weiter ergibt:
(xa - xm)(xt - xm) + (ya - ym)(yt - ym) = r2
und das ist die sogenannte Spaltformel, bzw. die Gleichung der Polaren;
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 418
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. November, 2004 - 14:51: |
|
und die gleichung der polaren muss ich noch mit der kreisgleichung gleichsetzen, dann habe ich die berührtpunkte??
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1007
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. November, 2004 - 18:25: |
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Genau, du bestimmst die Schnitte der Polaren mit dem Kreis und genau das sind deine beiden Tangentenpunkte; bzw. entscheidet dann die quadratische Gleichung wieviele Tangentenpunkte es gibt; für A außerhalb des Kreises gibt es 2 Tangentenpunkte, für A auf der Kreislinie genau einen; und für A innerhalb der Kreisfläche gibt es keinen;
Mainzi Man,
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|
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 419
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 21:00: |
|
ok danke!
detlef |
