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Beitrag |
    
korni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. November, 2004 - 09:53: | 
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Hi, ich komme bei dieser Aufgabe partout nicht weiter, vielleicht kann das ja hier jemand.
Ein Parallelogramm ABCD teilt der Punkt S die Seite BC im Verhältnis 1:2.
In welchem Verhältnis teilen sich die Transversalen AS und BD?
1000 Dank für jeden kleinen Hinweis |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1236
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 18:15: |
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Hi!
Verwunderlich, dass hier noch niemand geantwortet hat! Die Lösung geschieht (relativ einfach) vektoriell. Der Schnittpunkt von AS und BD sei T.
Das Parallelogramm sei mittels der linear unabhängigen Vektoren (sie sind nicht parallel) a = AB = DC und b = BC = AD bestimmt (a und b sind also Vektoren!). Da der Punkt s die Strecke BC im Verhältnis 1 : 2 (von B aus) teilt, ist BS = b/3 und SC = 2b/3. Der Punkt T teile nun die Strecke AS im Verhältnis r : (1 - r), d.h. AT = r*AS, bzw. die Strecke BD im Verhältnis s : (1 - s), d.h. BT = s*BD, wobei r und s nun bestimmt werden müssen.
Wir verwenden nun das Dreieck ABT:
AB = a, BT = s*(b - a) und AT = r*(a + b/3)
und wenden dort die Vektoraddition an:
vekt(AT) = vekt(AB) + vekt(BT)
r*(a + b/3) = a + s*(b - a)
r*a + (r/3)*b = a + s*b - s*a
a*(r + s - 1) = b*(s - r/3)
Weil die Vektoren a, b linear unabhängig sind, kann die Gleichung nur dann erfüllt sein, wenn die Klammerausdrücke Null werden!
r + s = 1
s = r/3
-----------
r = 3s
4s = 1
s = 1/4; r = 3/4
T teilt also AS im Verhältnis (3/4) : (1/4) = 3 : 1 und BD im Verhältnis (1/4) : (3/4) = 1 : 3
Gr
mYthos |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4627
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 08:09: |
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Hi Korni
Es dauerte wirklich allzu lange, bis jemand eine Lösung
geliefert hat.
Verwunderlich ist nun aber, dass bis jetzt niemand auf
die Idee kam, die Ähnlichkeit der Dreiecke TBS und TDA
zu benützen oder einen Strahlensatz (Proportionalsatz)
einzusetzen!
T ist wiederum der Schnittpunkt von AS und BD.
Die genannten Dreiecke stimmen paarweise in ihren
Winkeln überein und die Seiten BS und AD sind
entsprechende (homologe) Seiten.
Wir ermitteln daraus das Ähnlichkeitsverhältnis v;
es gilt: v = AD : SB = BC : SB = 3:1.
Die Seiten TD und TB bilden ein weiteres Paar sich
entsprechender Seiten:
Somit gilt:
TD : TB = v = 3.
T teilt BD im Verhältnis 3 :1
analog:
T teilt AS im Verhältnis 3 :1
Noch kürzer geht es, indem man den zweiten
Strahlensatz benützt.
Das überlasse ich dem geneigten Betrachter einer
entsprechenden Figur.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1237
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 09:57: |
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@megamath
T teilt BD im Verhältnis 1 : 3 und nicht umgekehrt (die kürzere Strecke liegt bei B)!
Gr
mYthos |
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