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Iona (Iona)
Neues Mitglied
Benutzername: Iona
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 17:06: | 
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Hi!
Habe eine Aufgabe und bräuchte die Hilfe von jemanden.Die Aufgabe ist
Können Vektor v1,v2 und v3 eine Basis des R^3 bilden?
v1=(1 -1 2) v2=( 8 -10 -3) v3=(0 -2 -19)
Ich weiß daß es eine Basis ist,wenn es linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem.
Nun habe ich als erstes ein LGS aufgestellt um zu überprüfen ob die Vektoren linear unabhängig sind,nämlich(verwende s1 für den 1.skalar,s2 für den 2. und s3 für den 3.)
s1 +8s2 =0
-s1 -10s2 - 2s3=0
2s1 -3s2 -19s3=0
Wenn ich das LGS auflöse habe ich für s1=34 s2=-5,75 und für s3=11,5 ,da nun kein Skalar 0 ist,sind sie linear abhängig,richtig?Nun wüsste ich ja schon das es keine Basis ist,ich möchte aber noch zur Kontrolle überprüfen,ob es ein Erzeugendensystem ist,kann mir jemand sagen wie ich das machen muss,also ein bisschen erklären?Habe es nämlich nicht verstanden.Bin für jede Hilfe dankbar.
grüße
IOna |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1227
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 18:12: |
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Hi,
das Gleichungssystem ist NICHT richtig aufgelöst! Setze doch mal s1 und s2 in die erste Gleichung ein, das stimmt doch wohl nicht.
M. E. sind die Vektoren linear unabhängig.
Die Menge der Vektoren v1, v2, v3 aus R^3 heißt Erzeugendensystem von R^3 , wenn sich jeder Vektor des R^3 als eine Linearkombination der v1, v2, v3 schreiben läßt.
Gr
mYthos |
Iona (Iona)
Neues Mitglied
Benutzername: Iona
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 10:25: |
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Hi!erstmal danke für die hilfe,finde ich toll,dass einem hier geholfen wird
hast recht,habe mich beim LGS verrechnet,habs jetzt 5mal nachgerechnet und es kommt am ende immer wieder das gleiche raus,nämlich
s1 +8s2 =0
-2s2 -2s3=0
0=0
Habe ich schon wieder was falsch gemacht?ich habe nämlich kein s3,da die letzte gleichung 0=0 wird,wie soll ich denn jetzt damit umgehen?
Zu der Erzeugendensystem,ich muss also sowas machen,oder?(musste jetzt die komponentennebeneinanderschreiben,sie sollen aber eigentlich untereinander sein)
(1 -1 2)= s(8 -10 -3) + r(0 -2 -19)
Habe es dann nach s und r ausgerechnet und für s=1/8 und r=-1/8 raus,wenn ich s und r jetzt einsetzte stimmt die linke seite mit der rechten überein und d.h es ist ein erzeugendensystem,oder?
lg
iona |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1228
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 11:56: |
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Hi,
habe ich doch tatsächlich falsch vermutet. Die Vektoren sind linear abhängig.
Da du in der ersten Gleichung kein s3 hast, musst du aus den beiden anderen s3 eliminieren.
Gleichungen mit -19 bzw. 2 multiplizieren
19s1 + 190s2 + 38s3 = 0
4s1 - 6s2 - 38s3 = 0
-------------------------
23s1 + 184s2 = 0
jetzt die erste Gleichung dazu
s1 + 8s2 = 0
-------------------------
Wenn diese beiden Gleichungen jetzt voneinander unabhängig wären, gäbe es nur die Lösungen 0,0 (triviale Lösung). Hier sieht man aber, dass die beiden Gleichungen dasselbe aussagen, denn
23s1 + 184s2 = 0
kann man durch 23 dividieren, und es ist ebenfalls
s1 + 8s2 = 0.
Somit hat das System ausser (0,0,0) noch weitere (unendlich viele) Lösungen. Setze s2 = t, dann ist s1 = -8t und mit Einsetzen in
- s1 - 10s2 - 2s3 = 0
8t - 10t = 2s3
s3 = -t
Die Gesamtlösung lautet demnach (-8t;t;-t) mit t € IR (t beliebig reell)
Du kannst auch den Wert der durch die Koeffizienten des Systemes festgelegten Determinante ermitteln. Ist dieser Null, so ist das System abhängig und die Vektoren linear abhängig.
| 1 8 0 |
|-1 -10 -2| =
| 2 -3 -19|
| 1 8 0 |
|-23 -184 0| =
| 2 -3 -19 |
| 1 8 |
|-23 -184| * (-19) .. [die zweireihige Determinante mal (-19)]
Die Determinante ist Null.
Bezüglich des Erzeugendensystemes gilt: Jeder Vektor des R^3 müsste sich aus den gegebenen drei Vektoren v1, v2, v3 bilden lassen (nicht v3 aus v1 und v2)
Dies ist hier nicht uneingeschränkt der Fall. Zeige dies an Hand eines Gegenbeispiels oder allgemein, dass ein Widerspruch entsteht.
Sei v ein Vektor des R^3, v = (a;b;c) [nicht alle a,b,c sind 0], so muss bei einem Erzeugendensystem das System
s1 + 8s2 = a
-s1 - 10s2 - 2s3 = b
2s1 - 3s2 - 19s3 = c
-----------------------
nach s1, s2 s3 auflösbar sein. Dies ist wegen der Abhängigkeit der Koeffizientenmatrix (deren Determinante ist Null) nicht der Fall.
Beim Auflösen des Systemes wird ein Widerspruch erkennbar:
s1 + 8s2 = a
23s1 + 184s2 = -19b + 2c
--------------------------
23s1 + 184s2 = 23a
23s1 + 184s2 = -19b + 2c
--------------------------
....
Somit liegt auch kein Erzeugendensystem vor.
Wenn also die Basis in R^3 linear abhängig ist, kann sie auch kein Erzeugendensystem des R^3 (wohl aber eines Vektorraumes niedrigerer Dimension) sein.
Gr
mYthos |
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