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Beitrag |
    
LNN
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 16:06: | 
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Folgende Funktion ist gegeben (Kehrfunktion bilden):
y=x+1/x-1
Das Ergebnis soll angeblich genau dieselbe Funktion wie die Aufgabe sein. Wenn ich den üblichen Lösungsweg nehme, und versuche nach x aufzulösen und dann auszutauschen haperts daran das ich es nicht schaffe nach x aufzulösen...
Bitte beschreibt doch den Lösungsweg ausführlich.
Vielen Dank! |
JMK
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 16:48: |
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Die Lösung geht eigentlich ganz einfach.
1. Der Bruch stört, multiplizier beide Seiten mit dem Nenner.
Beispiel: y^2=(x+e^x)/(y-x^3) --> y^2 * (y-x^3)=(x+e^x)
2. Nun hast du Terme mit x auf beiden Seiten der Gleichung, das ist natürlich etwas unpraktisch, also sammel einfach alle Summanden mit x auf einer Seite und alle ohne auf der anderen Seite.
Beispiel: x^2*e^x-5*sin(y)+14 = 5x-17+8y --> x^2*e^x-5x=-17+8y+5*sin(y)-14
3. Nun steht da natürlich noch nicht x=... sondern an den x "hängen noch andere Terme dran", die du noch loswerden musst. In dem Fall ist das ganz einfach mit ausklammern zu lösen.
Beispiel: 5xy-6x+(1+y^2)x=e^y-arctan(a)y --> x(5y-6+(1+y^2))=e^y-arctan(a)y
4. Dann teilst du durch die nicht von x abhängenden Terme auf der Seite auf der die x sind.
Beispiel: x*(y^(1/2)+14)=5tan(y)/y --> x= (5tan(y)/y) / (y^(1/2)+14)
Wenn du all diese Schritte mit der angegebenen Funktion statt mit meinen Beispielen (absichtlich kompliziert, einfach von den anderen auftretenden Funktionen nicht verwirren lassen) rechnest, so bist du fertig. Auf diese Art lassen sich fast alle dieser Probleme lösen. Du musst dich nur bemühen die Funktion nach x aufzulösen.
Etwas schwieriger wird es wenn ihr e-Funktionen und trigonometrische Funktionen benutzt, aber dort geht es prinzipiell genauso |
LNN
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 17:08: |
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Erstmal danke für die Antwort, aber leider bauen Deine Beispiele nicht aufeinander auf, sondern es sind immer neue Beispiele. Genau an dem Punkt, wo ich nicht weiterkomme, kommt ein neues Beispiel.
Auf y^2 * (y-x^3)=(x+e^x) bin ich auch noch gekommen, in meinem Falle x+1=y*(x-1). Aber wie soll ich dann die X-Werte auf eine Seite bringen? Wie schaffe ich es dieses blöde + und -1 wegzubekommen?
Es wäre wirklich sehr hilfreich wenn einer meine Aufgabe anhand meiner Vorlage lösen könnte... |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 1004
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 18:01: |
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Hi!
Ohne auf die Beispiele von JMK weiter einzugehen:
Es gibt einen recht simplen Weg:
y = (x+1)/(x-1) = (x+1+1-1)/(x-1) = (x-1+2)/(x-1) = (x-1)/(x-1) + 2/(x-1) = 1 + 2/(x-1)
Nun lösen wir nach x auf:
<=> y-1 = 2/(x-1)
<=> 1/(y-1) = (x-1)/2
<=> 2/(y-1) = x-1
<=> 1 + 2/(y-1) = x
<=> x = (y-1+2)/(y-1) = (y+1)/(y-1)
Vertauscht man nun x und y, so erhält man die Ausgangsfunktion. Natürlich ist bei den Umformungen zu beachten, dass weder x noch y = 1 werden dürfen!
Wenn man die Herleitung der Umkehrfunktion nicht benötigt, sondern nur zeigen soll, dass sie identisch ist mit der Ausgangsfunktion, dann kann man so vorgehen:
z.z.: f(f(x) = x
Also:
[(x+1)/(x-1) + 1]/[(x+1)/(x-1) - 1] = [(x+1+x-1)/(x-1)]/[(x+1-x+1)/(x-1)] = [2x/(x-1)]/[2/(x-1)] = 2x/2 = x q.e.d.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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LNN
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 18:12: |
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Vielen Dank Martin, Du hast mir sehr geholfen! 
MfG LNN |
JMK
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 19:24: |
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x+1=y*(x-1) = yx-y
=> x-yx=-y-1=-(y+1)
=> x(1-y)=-(y+1)
=> x= - (y+1)/(1-y)=(y+1)/(y-1)
Der Sinn der Beispiele war, dass ich dir nicht die Aufgabe durchrechne, da du sonst daraus nicht lernst selbstständig weitere Aufgaben dieser Art zu lösen.
Die Beispiele bauten nicht aufeinander auf weil ich mit denen einfach nur zeigen wollte was ich in dem Text meinte und wie das in Formel umgesetzt aussieht.
Wenn man irgendwo nicht weiterkommt sollten die Methoden Faktorisieren und Ausmultiplizieren eigentlich immer automatisch mal ausprobiert werden ob das nicht zu einem sinnvollen Ergebnis führt |
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