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Bom (Bom)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bom
Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. November, 2004 - 14:27: | 
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Hi!
3 Punkte A(4|1|0) B(2|1|1) C(1|4|-3/2)
Die Ebene E geht durch A,B,C.
sowie Gerade g: x=(-3,-1,1)+r(-4,-3,0.5)
1) K1 mit M1(2|m2|m3) berührt die Koordinaten ebenen (m2 und m3 > 0)
Ermittle für die Ebenen T1 und T2, die zu E parallel sind und K1 berühren jeweils die Gleichung
2) Die Ebene E und die drei Koordinatenebenen bilden eine Pyramide. Dieser Pyramide ist eine Kugel k2 einbeschrieben. Bestimme Mittelpunkt und Radius von K2. In welchem Punkt berührt E die Kugel k2?
3)Die Kugel K3 hat den MIttelpunkt M3(3|4|-2) und den Radius sqrt(29). Die Berührpunkte der Tangenten von S(3|-3|2) an K3 bilden einen Kreis k. In welchem Punkt schneidet k die x-y-Ebene?
hoffe mir kann da jemand helfen...
MfG BoM |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4590
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. November, 2004 - 16:45: |
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Hi BoM
Mit Methoden, die längst Routine sein sollten,
berechnen wir die Gleichung der Ebene E;
Resultat:
x+2y+2z = 6
Teilaufgabe 1
Die Kugel K1 hat den Radius R = 2, da der
Mittelpunkt M1 auf der Ebene x = 2 liegt-
M1 hat somit die Koordinaten M1(2/2/2)
und die Gleichung von K1 lautet:
(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2 = 4
oder
x^2 + y^2 + z^2 - 4 x - 4 y - 4 z + 8 = 0
Lege durch M1 die zu E senkrechte Gerade f;
Parametergleichungen von f: (skalar):
x = 2 + t; y = 2 + 2 t ; z = 2 + 2 t.
f schneidet die Kugel K1 in den Berührungspunkten
F1 und F22 der gesuchten zu E parallelen Tangentialebenen T1 und T2.
Ermittlung von F1, F2:
Wir setzen die Parameterbeziehungen in die erste
Gleichung für K1 ein; es entsteht eine quadratische Gleichung für t:
t^2 + 4 t^2 + 4 t^2 = 4
9 t^2 = 4, also t1 = 2/3, t2 = - 2/3
t1 gibt den Punkt F1(8/3;10/3;10/3)
Ebene T1: x + 2 y + 2 z = 16
t2 gibt den Punkt F2(4/3;2/3;2/3)
Ebene T2: x + 2 y + 2 z = 4
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4591
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. November, 2004 - 18:09: |
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Hi BoM
Teilaufgabe 3.
Mythos hat das Wesentliche bereits gesagt.
Ich nehme an, dass Du in der Zwischenzeit
das Thema „Polarebene“ eingehend studiert
hast!
Item.
Gleichung der Kugel K3:
(x-3)^2+ (y-4)^2 + (z+2)^2 = 29
Gleichung der Polarebene H mit P1(x1/y1/z1)
als Pol:
(x1-3)*(x-3) +(y1-4)*(y-4)+(z1+2)*(z+2) = 29
Wir wählen S(3/-3/2); die zugehörige
Polarebene H hat nach dem soeben Gesagten
die Gleichung:
H:
-7 *(y-4) +4 *(z+2) = 29
In dieser Ebene liegt der Berührungskreis k des
Tangentenkegels mit Spitze S.
Die gesuchten Durchstoßpunkte von k mit der
(x,y)-Ebene liegen auf der Schnittgeraden s der
Ebene H mit der (x,y)-Ebene, deren
Gleichung z = 0 lautet.
Gleichung von s:
- 7 *(y-4) + 8 = 29, also
y = 1.
Die gesuchten Punkte haben die Koordinaten
x (noch zu bestimmen) ,y=1 und z = 0
Sie liegen auf der Kugel, also besteht die Gleichung
(x-3)^2 + (1-4)^2 + (0+2)^2 = 29,vereinfacht:
(x-3)^2 = 16
daraus x1 =7, x2 =-1.
Die gesuchten Punkte sind:
(7/1/0),(-1/1/0)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4592
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 10:19: |
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Hi BoM
Es folgt die Lösung der Teilaufgabe 2.
Damit die Kugel K2 mit dem Mittelpunkt
M2: xM2 = u >0,yM2 = v>0,zM2 = w>0
die drei Koordinatenebenen berührt,
setzen wir die Gleichung
u = v = w = t > 0 an.
M2 liegt auf der Geraden, welche die
Symmetrieachse des ersten Oktanten bildet.
M3 hat von der Ebene E ebenfalls den Abstand t.
Um diese Bedingung zu realisieren, schreiben wir
die Gleichung von E in der Hesseschen Normalform;
diese lautet
[x + 2 y + 2 z – 6 ] / 3 = 0
Der Abstand do des Nullpunktes von E ergibt
sich nach dieser Formel zu do = - 6/3 = - 2.
NB: d0 ist negativ!
Abstand d des Punktes M2(t/t/t) von E:
d = [t + 2 t + 2t – 6 ] / 3 = (5 t – 6) / 3
Wir postulieren, dass auch der Mittelpunkt M2
von E einen negativen Abstand habe.
Die Bedingung lautet:
d = - t, also
(5 t – 6) / 3 = - t; Auflösung nach t:
t = ¾.
Wir erhalten für M2 die Koordinaten
xM2 =yM2 = zM2 = ¾
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Der Radius der Kugel K2 ist r = ¾
Um den Berührungspunkt T der Kugel K2
mit der Ebene E zu bekommen, legen wir durch
M2 die Senkrechte m zu E und bestimmen deren Schnittpunkt T mit E.
Gleichung von m mit s als Parameter:
x = ¾ + s, y = ¾ + 2 s, z = ¾ + 2 s
Schnittergebnis:
T(1 ; 5/4 ; 5/4)
°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Bom (Bom)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bom
Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 11:47: |
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hi! also erstmal großen dank, konnte ich gut nachvollziehen. Schön dass in keiner Formelsammlung und Mathe-Buch in meinem Bestiz was zum Thema Polarebene zu finden ist. Auch im Internet gibts da nich wirklich viel...
Hab aber noch ne Frage zu Teilaufgabe 2): warum kann man annehmen, dass die Koordinaten vom Mittelpunkt alle gleich und auch noch gleich mit dem Abstand t zur Ebene sind? Was bedeutet/welche Folge hat der negative Abstand?
grüße
BoM
(Beitrag nachträglich am 06., November. 2004 von bom editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4593
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 13:59: |
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Hi BoM
Schau in den antiquarischen Büchern zur analytischen Geometrie der Ebene und zur analytischen Geometrie
des Raumes nach!
Zu Olims Zeiten, als ich noch zur Schule ging, gehörte
die Polarentheorie zum Stoffgebiet einer Oberrealschule.
Heute weiß man es besser und findet gewisse
unentbehrliche Dinge unmodern und daher
irrelevant.
Wenn eine Aufgabe erfolgreich gelöst ist, lohnt es
sich, das Resultat zu begutachten und Manöverkritik
zu betreiben. Dabei darf die räumliche Anschauung
durchaus eingesetzt werden.
Das soll auch bei der Teilaufgabe 2 geschehen.
Wir bestimmen die Koordinaten der Ecken des Tetraeders.
Außer dem Nullpunkt O sind das die drei
Schnittpunkte A,B C der Ebene E:
x+2y+2z = 6
mit den Koordinatenachsen; wir finden:
A(6/0/0),B(0/3/0) ,C(0/0/3)
Dieses Tatraeder ist ein handgreifliches Objekt.
Wir gehen bald damit einig, dass der Punkt
M2( ¾ ; ¾ ; ¾ ) im Inneren des Tetraeders liegt
und sogar als Mittelpunkt der Inkugel
des Teraeders erscheit.
Als Radius dieser Kugel kommt r = ¾.
Zum einen ist das der Abstand des Punktes M2 von allen drei Koordinatenebenen zugleich.
Zum andern ist die Zahl ¾ auch der Betrag des
Abstandes des Punktes M2 von E.
Dies ist notwendig und hinreichend dafür, dass
die Kugel K2 die ermittelten Bestimmungsdaten erhält.
Als Ortskurve für M2 habe ich die Gerade
x = y = z verwendet; parametrisiert:
x = t, y = t , z = t.
Auf einen heiklen Punkt möchte ich besonders aufmerksam machen.
Die Hessesche Abstandsformel liefert
bekanntlich positive und negative Abstände,
je nachdem (manchmal sind sie auch null),
aber das ist eine andere Geschichte.
Setzt man bei meiner Rechnung statt d = - t
d = + t ein, so nimmt die Rechnung diesen
Gang:
d = t, also
(5 t – 6) / 3 = t; Auflösung nach t:
t =3.
Wir erhalten für M2 die Koordinaten
xM2 =yM2 = zM2 = 3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Der Radius der Kugel K2 ist r = 3
Um den Berührungspunkt T der Kugel K2
mit der Ebene E zu bekommen, legen wir durch
M2 die Senkrechte m zu E und bestimmen deren Schnittpunkt T mit E.
Gleichung von m mit s als Parameter:
x = 3 + s, y = 3 + 2 s, z = 3 + 2 s
Schnittergebnis:
T(2 ; 1; 1)
°°°°°°°°°°
Aufgepasst: M2 liegt jetzt außerhalb des Tetraeders;
wir haben mit M2 den Mittelpunkt einer ANKUGEL
erwischt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
habac
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 14:35: |
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Hi Bom
ich fürchte fast, Dein Lehrer wird die Polarebene nicht akzeptieren.
So kannst Du auch vorgehen:
Die Berührungspunkte der Tangenten auf K3 liegen auf der Thaleskugel K4 über der Strecke SM3, deren Gleichung Du auf veschiedene Arten finden kannst:
K4: x^2+y^2+z^2-6x-y-7=0.
Durch Subtrahieren der Gleichungen von K3 und K4 erhälst Du als Gleichung, die die gemeinsamen Punkte der Kugeln erfüllen müssen, die Gleichung der Ebene des Schnittkreises (der ja existiert). Das ist die Gleichung der Polarebene.
Gruss!
habac |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4594
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 14:53: |
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Hi BoM
Deine Angabe zur Polarebene in vektorieller
Darstellung, die Du mir privatim mitgeteilt hast,
ist richtig.
Da ein allgemeines Interesse an dieser Materie
sicher vorhanden ist, werde ich in diesem
Forum dazu Stellung nehmen.
Wenn ich die Zeit aufbringen kann, werde ich
demnächst eine Herleitung präsentieren.
Bis dann!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4595
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 15:10: |
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Hi habac
Deine Idee ist sehr gut und offenbar den vorliegenden
Bedürfnissen bestens angepasst!
Ich bin aber gutmeinend und habe die Auffassung,
dass es noch Lehrer gibt, die Freude daran haben,
wenn ihre Schüler zum obligatorischen Stoff
Zusätzliches lernen wollen.
Ich möchte darauf aufmerksam machen, dass die gute
Thaleskugel bei den allgemeinen Quadriken ihren Geist
aufgeben muss;
die Polarentheorie jedoch feiert hier ihre unbestrittenen Erfolge.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4596
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 16:41: |
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HiBoM
Du gibst als Vektorgleichung der Polarebene an:
(x-m)*(p-m)=r^2
Die Bezeichnungen sind so zu deuten:
m ist der Ortsvektor des Mittelpunktes der Kugel
p ist der 0rtsvektor des Pols P1
x ist der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Polarebene
Ich schreibe im Folgenden p statt x
und p1 statt (!)
r ist der Kugelradius.
Die linke Seite stellt selbstredend ein Skalarprodukt dar.
Für die Erfassung der Polarebene gehen wir
von den nachstehenden Grundkenntnissen aus:
die Polarebene von P1 geht durch den vierten harmonischen Punkt Po zu P1 in Bezug auf die Endpunkte des Kugeldurchmessers A B durch P1;
sie steht zu diesem Durchmesser senkrecht.
Der Punkt Po auf der Gerade MP1 ist
gegeben durch die Gleichung
(po - m) * (p1 – m) = r^2……………………………………(I)
po ist der Ortsvektor von Po.
Man denke an die Spiegelung am Kreis
mit Radius r.
Da die Polarebene auf MP1 senkrecht steht,
gilt die Gleichung
(p – po) * (p1 - m) = 0……………………………………….(II)
Wir addieren die beiden Gleichungen (I) und (II)
und fassen neu zusammen.
Es entsteht:
(p1 - m) * (p – m) = r^2.
Wir sind am Ziel!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Bom (Bom)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bom
Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 17:47: |
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hi!
danke nochmals, hab durch deine Herleitung auch einen Weg gefunden, der sehr ähnlich ist.
Man geht davon aus, dass der Berührtpunkt die 2 Bedingugnen erfüllt, einmal Element der Kugel ist, also die Kugelgleichung erfüllt und auf der Tangetielebene liegt, die man widerum damit herleiten kann, dass ja zwischen der Strecke M zu Berührpunkt und Tangente ein rechter Winkel ist, das Skalarprodukt also Null ergeben muss.
Setzt man die ineinander ein erhält man die Gleichung der Polarebene
bye
BoM |
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