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würfel wahrscheinlichkeit

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Stochastik/Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik » Glücksspiele » würfel wahrscheinlichkeit « Zurück Vor »

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Sweeetangelll (Sweeetangelll)
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Mitglied
Benutzername: Sweeetangelll

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 18:36:   Beitrag drucken

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?
Zwei faire Würfel werden gleichzeitg gespielt.
A1= Der erste Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl.
A2= Der zweite Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl.
A3= Die Augensumme der zwei Würfel ist ungerade.
Untersuchen Sie diese Ereignisse auf paarweise bzw. auf totale Unabhängigkeit!

Wie muss ich da vorgehen ?
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 463
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 21:50:   Beitrag drucken

Hi,

die Standardmethode ist, nachzusehen, ob die W. vom Schnitt dem Produkt der Einzelw. entspricht. Du wirst feststellen, dass die drei Ereignisse zwar paarweise unabhängig sind, alle drei aber nicht !
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4584
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. November, 2004 - 08:31:   Beitrag drucken

Hi Viktoria

Zur Lösung dieser Aufgabe braucht es
Durchstehvermögen; es gibt einiges zu tun.

Wir setzen A1 = A , A2 = B, A3 = C.

Zuerst wird man die Wahrscheinlichkeiten P(A),P(B),P(C)
der Ereignisse A, B, C ermitteln.
Dann diejenigen der paarweise ermittelten Durchschnitte:
P(A und B),P(B und C),P(C und A).
Auch die Wahrscheinlichkeit P(A und B und C) des Durchschnitts
aller Ereignisse spielt eine Rolle.

Die Definition für die Unabhängigkeit dreier Ereignisse lautet:
Die drei Ereignisse A,B,C sind genau dann unabhängig, wenn
jede der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist:
P(A und B) = P(A) P(B)
P(B und C) = P(B) P(C)
P(C und A) = P(C) P(A)
P(A und B und C) = P(A) P(B) P(C)

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Sweeetangelll (Sweeetangelll)
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Mitglied
Benutzername: Sweeetangelll

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. November, 2004 - 19:23:   Beitrag drucken

könnt ihr mir es vieleicht an einem beispiel vormachen ich komm da nicht so zurecht mit den ganzen formeln :-(
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4585
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. November, 2004 - 10:16:   Beitrag drucken

Hi Viktoria

Du hast Recht; man kommt erst zu Recht, wenn
man mit konkreten Beispielen alles durchrechnet!

Es ist nahe liegend, dass wir das von Dir
vorgelegte Beispiel bearbeiten.
1:
Zuerst dies: beim dreifachen Wurf mit einem Würfel
erhalten wir insgesamt m = 6 * 6 * 6 = 216 Möglichkeiten

2:
Für das Ereignis A gibt es g = 3 * 6 * 6 = 108 Fälle;
das sind die so genannten günstigen Fälle.
Daher gilt
P(A) = g/m = 108/216 = ½


3.
Dieselbe Rechung ergibt sich bei der Ermittlung von P(B)
g = 6*3*6 = 108
P(B) = ½.


4.
Für das Ereignis C gibt es g = 2* 3*3*3 = 54 mögliche Fälle;
das sind die so genannten günstigen Fälle.
Zum einen sind es diejenigen Fälle, bei denen von den drei
Würfeln genau einer eine ungerade Augenzahl zeigt,
zum anderen diejenigen Fälle, bei denen genau drei ungerade
Augenzahlen auftreten; daher tritt der Faktor 2 auf.
Wir erhalten demnach:
P(C) = g/m = 54/216 = ¼

5.
Wie man leicht feststellt, sind genau die Hälfte der Ergebnisse
unter Punkt 2 auch solche aus Punkt 4 , sodass bei der
Durchschnittbildung
P(A und C) = 54/216 = ¼
herauskommt.


6.
Schlussfolgerung
Wenn man nun prüfen will, ob die Ereignisse A und C unabhängig
sind oder nicht, greift man zur Definition:
Zwei Ereignisse A und C heißen unabhängig, wenn die Beziehung
P(A und C) = P(A)*P(C) gilt
In unserem Beispiel trifft dies für A und C wegen ¼ = ½ * ½ zu,
A und C sind unabhängig.


Anmerkung

Dem Anfänger wird empfohlen, die Ereignisse A, B, C , (A und B),etc.
explizit zu notieren, um dadurch die nötigen Erkenntnisse zu gewinnen.
Man lasse sich bei dieser Tätigkeit nicht von einer großen Anzahl von Fällen
abhalten!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4586
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. November, 2004 - 10:40:   Beitrag drucken

Hi Viktoria

Ich habe aus Übermut drei Würfel ins Spiel gebracht!
In der von Dir präsentierten Aufgabe kommen jedoch
nur zwei Würfel vor.
Ich hoffe, dass Du mit dieser einfacheren
Aufgabe sicher allein zu recht kommst.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4587
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. November, 2004 - 14:11:   Beitrag drucken

Hi Viktoria

Zur Kontrolle gebe ich Dir die Ergebnisse für ZWEI
Würfel bekannt.

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse
A,B,C sind:
P(A) = 18/36 = ½
P(B) = 18/36 = ½
P(C) = 18/36 = ½

Dasselbe für die Durchschnitte:
P(A und B) = ¼
P(B und C) = ¼
P(C und A) = ¼


Sind die Ereignisse paarweise unabhängig oder nicht?

P(A und B) = P(A) * P(B) ist wahr, A und B sind unabhängig
P(B und C) = P(B) * P(C) ist wahr, B und C sind unabhängig
P(C und A) = P(C) * P(A) ist wahr, C und A sind unabhängig

Durchschnitt aller drei Ereignisse
P(A und B und C) = 0
Daher ist die Bedingung
P(A und B und C) = P(A)*P(B)*P(C) nicht erfüllt,
daraus folgt:
Die drei Ereignisse A , B, C zu dritt sind abhängig.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4588
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. November, 2004 - 17:05:   Beitrag drucken

Hi allersdeits

Für Kenner der Materie und solche, die das werden möchten,
sei die folgende Bemerkung angebracht.

Es gibt zu der in meinem früheren Beitrag erwähnten Definition I
der Unbhängigkeit dreier Ereignisse A,B C noch eine weitere,
dazu äquivalente Definition II.

Es sollen die beiden Definitionen hier zusammengestellt werden.

Definition I
Die Definition für die Unabhängigkeit dreier Ereignisse lautet:
Die drei Ereignisse A,B,C sind genau dann unabhängig, wenn
jede der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist:
P(A und B) = P(A) * P(B)
P(B und C) = P(B) * P(C)
P(C und A) = P(C) * P(A)
P(A und B und C) = P(A) * P(B) * P(C)


Definition II
Die drei Ereignisse A, B, C sind genau dann unabhängig, wenn
jede der folgenden acht Bedingungen gilt:

P(A und B und C) = P(A) * P(B) * P(C)
P(non A und B und C) = P(non A) * P(B) * P(C)
P(A und non B und C) = P(A) * P(non B) * P(C)
P(A und B und non C) = P(A) * P(B) * P(non C)
P(non A und non B und C) = P(non A) * P(non B) * P(C)
P(non A und B und non C) = P(nom A) * P(B) * P(non C)
P(A) und non B und non C) = P(A) * P(non B) * P(non C)
P(non A und non B und non C) = P(non A) * P(non B) * P(non C)

In den Klammren stehen Durchschnitte von Ereignissen;
non A ist das Gegenereignis von A.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Sweeetangelll (Sweeetangelll)
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Benutzername: Sweeetangelll

Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Montag, den 08. November, 2004 - 09:55:   Beitrag drucken

danke für die ausführliche hilfe:-)

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