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Miro2004 (Miro2004)
Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Oktober, 2004 - 12:54: | 
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Hallo
Bei der folgenden Berührungsaufgabe
finde ich leider keine Lösungsmethode.
Kann mir jemand helfen?
Die Aufgabe lautet:
Die Konstanten b und c in der Parabelgleichung
y = x^2 + bx + c sind so zu bestimmen, dass
die Parabel die Geraden
y = 5 x + 16 und y = -3 x + 10 berührt.
Welches sind die Koordinaten der Berührungspunkte?
Ich bedanke mich für jede Hilfe im Voraus.
Miro
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4567
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Oktober, 2004 - 14:05: |
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Hi Miro.
Eine Möglichkeit zur Lösung besteht darin,
gewisse Diskriminanten quadratischer Gleichungen
aufzustellen und diese null zu setzen.
Eine erste quadratische Gleichung bekommst Du
dadurch, dass Du die Parabel mit der ersten Geraden
zum Schnitt bringst.
Gleichsetzung der y-Werte führt auf die Gleichung
x^2 + (b - 5) x + c – 26 = 0;
die Diskriminante diese Gleichung lautet:
D1 = ( b - 5)^2 - 4 (c - 26)
Setze D1 = 0 (Doppellösung!) ;es entsteht eine
erste Gleichung für b,c:
b^2 – 10 b - 4 c + 129 = 0
Eine zweite quadratische Gleichung bekommst Du
dadurch, dass Du die Parabel mit der zweiten Geraden
zum Schnitt bringst.
Gleichsetzung der y-Werte führt auf die Gleichung
x^2 + (b + 3) x + c – 10 = 0;
die Diskriminante diese Gleichung lautet:
D2 = (b + 3)^2 - 4 (c - 10)
Setze D2 = 0 (Doppellösung!) ; es entsteht eine
zweite Gleichung für b, c:
b^2 + 6 b - 4 c + 49 = 0
Es ist nun sehr leicht, die eindeutig bestimmten
Werte für b und c zu berechnen!
Die Berührungspunkte findet man durch Auflösen
der erwähnten quadratischen Gleichungen
unter der Voraussetzung, dass D1 und D2 null sind,
entsprechend unserer Vorsorge,
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Oktober, 2004 - 12:36: |
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Hallo
Ich danke für die Hilfen zur Lösung der Parabelaufgabe!
Ich bin mit der Auswertung gut vorangekommen,
dank dem Tipp mit den Diskriminanten.
Die Aufgabe hat noch ein heikles Nachspiel.
Ich soll rechnerisch nachweisen,
dass die Polare des Schnittpunktes S der beiden Geraden
durch die Berührungspunke der beiden Tangenten geht.
Wie kann man das machen?
Vielen Dank im Voraus
Miro
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4572
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Oktober, 2004 - 14:34: |
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Hi Miro
Deine Zusatzaufgabe ist schon ein wenig
anspruchsvoller als die Hauptaufgabe selber.
In der letzteren hast Du die beiden
Berührungspunkte
B1(0/26) und B2(-4/22) souverän bestimmt.
Der Schnittpunkt S der beiden Tangenten
ergibt sich zu S(-2/16).
Es geht nun darum, die Gleichung der Polaren p
von S zu ermitteln.
S ist dann der Pol zu p bezüglich der Parabel.
Wir finden die Gleichung von p durch das
Verfahren der Polarisation.
Das ist eine Übersetzung aus der Formelwelt der
Kegelschnitte in die Welt linearer Gleichungen,
eben der Gleichungen von Polaren.
Hier ein Paar Beispiele:
x^2 geht über in x1* x
x geht über in ½ (x + x1)
y^2 geht in y1 * y über
y in ½ (y + y1 )
Dabei stellen x1 und y1 die Koordinaten des Pols dar,
x und y auf der rechten Seite sind mit den Koordinaten
des laufenden Punktes der Polaren zu identifizieren.
Für unser Beispiel der Parabelgleichung
y = x^2 + 5 x + 26 entsteht durch das Verfahren
der Polarisation die Polarengleichung
½ (y + y1) = x1 x + 5 * ½ (x + x1) + 26,
vereinfacht:
(2 x1+5) x – y = y1 – 5 x1 – 52.
Nun folgt der Lohn für alle Mühen.
Wir setzen die Koordinaten x1 = - 2 , y1 = 16
des Pols S ein, und siehe da, die Gleichung
x – y = - 26
wird erfüllt,
gleichviel (im wahrsten Sinn des Wortes),
ob wir für x und y das zum Berührpunkt B1
gehörende Paar(0/26),
oder das zum Berührpunkt B2 gehörende
Paar(- 4/22) einsetzen.
ECCE:
(x-y=) 0 – 26 = - 4 – 22 = -26 ; genau das
war zu zeigen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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