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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 164
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 21:07: | 
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Es sollen k gleichartige Kugeln nach Belieben auf n Schalen verteilt werden.Die Anordnung der Kugeln innerhalb der Schalen wird nicht berücksichtigt.Wie viele verschiedene Verteilungen gibt es ?
Ich habe mir gedacht pro Kugel gibt es n Wahlmöglichkeiten,folglich ist Anzahl = n^k.
Wie seht ihr das ?
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 581
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 21:17: |
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Stimmt
MfG Klaus
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2453
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 08:33: |
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?? für k=3, n=2 sehe ich nur die
Anordnungen 3,0 und 2,1 das sind aber nicht 2^3=8
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4559
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 09:46: |
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Hi
Dies ist eine berühmte Kombinatorikfalle,
in die schon einige Leite tappten!
Beim vorliegenden Problem handelt es sich um die Aufgabe, k ununterscheidbare Kugeln auf n Urnen
zu verteilen.
Sei b(r,s) der Binomialkoeffizient r tief s, also
b(r, s)=r! / [s!(/(r-s)!]
Die gesuchte Anzahl z ist dann
b(n + k – 1 , k)
°°°°°°°°°°°°°°°
Im Beispiel von Friedrich Laher gibt das
z = b(4,3) = 4 Möglichkeiten
Man nehme die Verteilulung selber vor
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4560
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 09:58: |
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Hi allerseits
Zur Abrundung und als Ergänzung noch dies:
Eine Menge mit n Elementen enthält gerade
b(n + k – 1 , k) ungeordnete k-Stichproben
mit Zurücklegen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2456
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 10:18: |
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@Megamath:
also so wie ich
.Die Anordnung der Kugeln innerhalb der Schalen wird nicht berücksichtigt
verstehe,
sollte 3,0 nicht von 0,3,
sollte 1,2 nicht von 2,1 unterschieden werden
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4561
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 14:20: |
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Hi Kratas
Du hast ein sehr interessantes und wichtiges Thema aufgegriffen!
Dafür bin ich Dir dankbar.
Die Angelegenheit wird in Lehrbüchern der Stochastik
i.A. gut abgehandelt,
manchmal aber auch sehr stiefmütterlich behandelt.
Eine gute Darstellung findest Du z.B.im Klettbuch
Arthur Engel,
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band I.
Daselbst findest Du auch eine nette Aufgabe zum Thema:
sie lautet:
Ein Händler verkauft Äpfel, Birnen und Orangen
zu 1 € für das Dutzend Früchte beliebiger Zusammensetzung.
Wie viel verschiedene Einkäufe sind mit 1€ möglich.
Die Lösung kommt etwas später!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4563
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 15:50: |
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Hi allerseits
Das von Kratas angezogene Thema segelt unter verschiedenen Flaggen; die Formel ist stets dieselbe
Die Textüberschriften lauten etwa:
Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen
(n Elemente ,Länge k).
Anzahl Möglichkeiten, mit n Merkmalen ungeordnete
k-Tupel zu bilden
(Reihenfolge unwesentlich).
Anzahl ungeordneter k-Stichproben mit Zurücklegung aus einer Menge mit n Elementen.
(Wiederholungen gestattet).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4564
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 18:01: |
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Hi Friedrich
Doch! ………….
Es liegt ein Missverständnis vor.
Bei der Anwendung der von mir angegebenen Formel
wird, in allen möglichen Sprachen, stets ausdrücklich
darauf aufmerksam gemacht,
dass die Kugeln
ununterscheidbar sind.
Man beachte aber das Folgende.
Die Schalen sind nummeriert,
wie etwa die Zimmer in
einem Hotel, und zwar mit römischen Ziffern,
wie es sich für Amphoren gehört.
1.Fall:
in I: 3 Kugeln,
in II: 0 K
2.Fall:
in I: 0 Kugeln,
in II: 3 K
3.Fall:
in I: 1 Kugel
in II: 2 Kugeln
4.Fall:
in I: 2 Kugeln
in II: 1 Kugel
Alle diese Einteilungen sind gültig und
gleichberechtigt.
Niemand hat die Kugeln zu Individuen und damit
unterscheidbar gemacht, hier liegt der wunde Punkt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2459
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 18:19: |
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@Megamath ( 27. Oktober, 2004 - 19:01 )
ok,
dann sind eben Die Schalen Individuen, was
Kratas nicht explizit ausgeschlossen hat, und woraus
sich dann Deine Rechnung ergibt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4565
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Oktober, 2004 - 07:28: |
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Hi allerseits,
Es ist an der Zeit, die Lösung der Zusatzaufgabe bekannt zu geben.
Die Aufgabe lautet in der Wiederholung:
Ein Händler verkauft Äpfel, Birnen und Orangen
zu 1 € für das Dutzend Früchte beliebiger Zusammensetzung.
Wie viel verschiedene Einkäufe sind mit 1€ möglich?
Lösung mit der Formel für Kombinationen mit Wiederholung:
z = binomial(n + k – 1 , k)
setze n = 3 , k = 12;
es entsteht:
z = binomial(14,12) = bimomial (14,2) = 91
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 165
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. November, 2004 - 19:57: |
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Vielen Dank nochmal für deine ausführliche Bearbeitung, Megamath ...allerdings hatte ich wohl vergessen zu schreiben,dass die Schalen nummeriert sind mit k1,k2,... und somit muss gelten: k1 + k2 + ... = k
Dann soll die Anzahl der Verteilungen:
k! / (k1!*k2!*...kn!)
Ist die andere Lösung (n+k-1 über k) nicht trotzdem richtig ?
Gruß :=) Danke nochmal.
Kratas |
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