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Koko (Koko)
Junior Mitglied
Benutzername: Koko
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 15:01: | 
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hi. wir haben zwei elementargeometrische anwendungen bekommen
1)Der satz des Thales lautet: Liegt ein Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, so hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel. Beweisen Sie diese Aussage
2) Beweisen Sie, dass sich drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks ABC in einem Punkt schneiden.
Danke für Hilfe!!! |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 994
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 16:07: |
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1) M sei der Kreismittelpunkt. Dann gilt
<AC,CB> = <AM+MC,CM+MB> = <AM,CM+MB> + <MC,CM+MB> = <AM,CM> + <AM,MB> + <MC,CM> + <MC,MB> (1)
Da AM=MB gilt weiter
(1) = <MB,CM> + <MB,MB> + <MC,CM> + <MC,MB>
= -<BM,CM> + <BM,BM> - <CM,CM> + <CM,BM>
= <BM,BM> - <CM,CM> = |BM|²-|CM|² = 0
Insgesamt also <AC,CB>=0 womit bewiesen ist, daß AC und CB zueinander senkrecht stehen.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2422
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 16:20: |
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ZU Thales
a,b,r,s in der Zeichnung seien Vektoren
a = +s+r
b = -s+r
SkalarProdukt a.b = (r+s).(r-s) = r.r-s.s
da
das Skalarprod. eines Vektors mit sich selbst
das Quadrat seines Betrages ist
und |r| = |s|
ist r.r - s.s = 0
a,b sind also senkrecht zueinander.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Koko (Koko)
Junior Mitglied
Benutzername: Koko
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Oktober, 2004 - 12:58: |
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danke für die lösungen.
kann mir jemand noch bei der zweiten aufgabe helfen?
vielen lieben dank
(Beitrag nachträglich am 14., Oktober. 2004 von koko editiert) |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 997
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 2004 - 12:19: |
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Dann mal zur zweiten.Ich weiss nicht, ob es die einfachste Lösung ist, aber immerhin funktioniert sie.
Wenn die Seiten von den Vektoren a, b und c gegeben sind, dann gilt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von a und b
(1) (1/2)a+r*na = a+(1/2)b+s*nb
Um nun den Wert von r zu berechnen betrachtet man das Skalarprodukt der beiden Seiten von (1) mit b und erhält
<(1/2)a+r*na,b> = <a+(1/2)b+s*nb,b>
<=> (1/2)<a,b>+r<na,b> = <a,b>+(1/2)<b,b>
=> r = ((1/2)<a,b>+(1/2)<b,b>)/<na,b>
<=> r = (1/2) <a+b,b>/<na,b> = (1/2) <c,b>/<na,b>
Berechnet man nun den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von a und c, so erhält man durch ein analoges Vorgehen
r=(1/2)<b,c>/<na,c>
Da nun aber
<na,c> = <na,a+b> = <na,a>+<na,b> = <na,b>
liegt in der Tat derselbe Punkt vor.
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Koko (Koko)
Junior Mitglied
Benutzername: Koko
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 2004 - 13:16: |
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also verstanden habe ich das nicht wirklich. geht das auch leichter?
danke |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2429
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 2004 - 14:54: |
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ingo's ist sicher elegant, da meines mich aber
soviel Mühe kostete, will ich's schon bewundert
wissen 
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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ukm
