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Rumpfel (Rumpfel)
Neues Mitglied
Benutzername: Rumpfel
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 15:45: | 
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Hallo,
ich habe folgendes Problem zu lösen:
Einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b wird von dem Mittelpunkt einer seiner kürzeren Seiten eine Ecke abgeschnitten und zwar im Winkel von 45 Grad. Jetzt soll in die verbleibende Fläche ein neues Rechteck eingesetzt werden, dessen Flächeninhalt möglichst groß sein soll.
Meine Extremalbedingung ist also A=x*y.
Die Nebenbedingung macht mir allerdings zu schaffen.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
Vielen Dank!
Christian |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1188
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 20:27: |
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Diese interessante Aufgabe taucht in verschiedenen Versionen immer wieder auf.
Wir verlängern x über die Bruchlinie hinaus bis zur Breite b, dann entsteht - wegen der 45° - ein kleines gleichschenkeliges Dreieck (2. Kathete bis zur Mitte der Seite b).
Die 1. Kathethe ist nun a - x, die senkrechte y - (b/2), beide sind gleich, und das ist schon die Nebenbedingung.
a - x = y - (b/2)
Das setze mal in A = x*y ein.
A(x) = ax + (b/2)*x - x^2
A'(x) = a + (b/2) - 2x --> 0
x = (2a + b)/4
y = (2a + b)/4
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Nun kommt noch eine bemerkenswerte Tatsache. Damit die Ecke des neuen Reckteckes innerhalb auf der Bruchlinie zu liegen kommt, muss x größer sein als a - (b/2)! Also nicht jede beliebige Angabe für a und b führt auf eine sinnvolle Lösung!
x > a - (b/2)
(2a + b)/4 > (2a - b)/2 | *4
2a + b > 4a - 2b
3b > 2a .. Bedingung für sinnvolle Lösung!
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Proben:
a = 8, b = 4 --> x = y = 5 .. a - (b/2) = 6
nicht brauchbar!
a = 8, b = 6 --> x = y = 5,5 .. a - (b/2) = 5
sinnvolle Lösung!
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 30., September. 2004 von mythos2002 editiert) |
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