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Phoenixd (Phoenixd)
Neues Mitglied
Benutzername: Phoenixd
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 21:23: | 
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hi leute
kennt ihr eine gute strukturierte seite wo ich ausführliche beweise zu den den ableitungsregeln finde(potenzr. , summen. , faktor. , produkt. ,ketten und quotient) leider hab ich bisherher nur seiten gefunden die die beweise in universitäts-mathematik erklären.... ich brauch aber beweise, die jemand der in der 12 ist auch verstehen kann....
danke....ciao |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 983
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 11:14: |
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Frage wäre, was Du unter "Uni-Mitteln" verstehst. Sind Grenzwertbetrachtungen für Dich schon Uni-Niveau? Wenn ja, wirst Du leider nirgends etwas finden, denn ganz ohne Grenzwerte wird es nicht gehen. Man kann sich zwar ein paar Regeln durch Zurückführen auf andere erleichtern (Faktor ist beispielsweise ein Spezialfall der Produktregel aus der sich wiederum die Quotientenregel herleiten lässt) aber für diese "Grundregeln" brauchst Du auf jeden Fall eine Grenzwertbetrachtung.
Normal geht man in der Schule ja so vor, daß man zwei oder drei Beispiele rechnet(Ableitung von x, x², x³) und dann Regelmässigkeiten erkennt ohne sie groß zu beweisen.
Vielleicht noch mal eine Übersicht, was man auf welche Regeln zurückführen könnte:
1) Potenzregel --> Spezialfall der Produktregel (Induktion!)
2) Summenregel --> über Grenzwerte noch relativ einfach beweisbar
3) Faktorregel --> Spezialfall der Produktregel
4) Produktregel --> Grenzwerte nötig
5) Kettenregel --> Grenzwerte nötig
6) Quotientenregel --> leitet sich aus der Produktregel ab(f=g/h <=> fh=g)
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Phoenixd (Phoenixd)
Neues Mitglied
Benutzername: Phoenixd
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 22:20: |
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natürlich haben wir den limes schon besprochen
also ich bracu beweise mit differenzialformel... |
Phoenixd (Phoenixd)
Neues Mitglied
Benutzername: Phoenixd
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 14:38: |
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gibt es keine seite ....????? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1593
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 15:09: |
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Hallo
Ich kenne zwar keine Seite, wir können die Beweise aber auch hier führen.
Wir gehen aus von der Definition der Ableitung:
f'(a)=lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)
Wir beginnen mit der leichtesten Formel, nämlich der Summenformel.
(f+g)'(a)=lim(x->a) ((f+g)(x)-(f+g)(a))/(x-a)
=lim(x->a) (f(x)+g(x)-f(a)-g(a))/(x-a)
=lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a) + lim(x->a) (g(x)-g(a))/(x-a)
=f'(a)+g'(a)
Nun beweisen wir die Produktregel:
(f*g)'(a)=lim(x->a) ((f*g)(x)-(f*g)(a))/(x-a)
=lim(x->a) ((f(x)*g(x)-f(a)*g(a))/(x-a)
Jetzt wenden wir einen kleinen Trick an. Wir erweiteren den Zähler mit zwei Summanden, die sich gegenseitig aufheben.
=lim(x->a) ((f(x)*g(x)-f(x)*g(a)+f(x)*g(a)-f(a)*g(a))/(x-a)
=lim(x->a) (f(x)*(g(x)-g(a))+(f(x)-f(a))*g(a))/(x-a)
=lim(x->a) f(x) * lim(x->a) (g(x)-g(a))/(x-a)+g(a)*lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)
=f(a)*g'(a)+g(a)*f'(a)
Daraus ergibt sich sofort die Faktorregel:
(r*f)'(a)=r'(a)*f+r*f'(a)=r*f'(a)
Die Ableitung einer Konstanten Funktion ist Null!
Wenn du mit Potenzregel meinst, dass der Exponent eine natürliche Zahl ist, dann folgt das wie Ingo schon sagte induktiv aus der Produktregel:
Wir behaupten, dass n*xn-1 die Ableitung von f(x)=xn ist. Fangen wir mit n=1 an. Das stimmt offenbar, weil die 1 Ableitung der Funktion x ist.
Induktionsschluss n->n+1:
(xn+1)'=(x*xn)'=xn+x*n*xn-1
=(n+1)*xn
Soweit erstmal.
MfG
Christian
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