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Scharfunktion- Fläche des Rechteckes ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Scharfunktion- Fläche des Rechteckes gesucht « Zurück Vor »

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Kisska (Kisska)
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Benutzername: Kisska

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 20:09:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,

ich habe folgende Aufgabe:

Der Graph der Scharfunktion fk(x)= -2x^3 + k
schließt mit den beiden Achsen eine Fläche ein. Beschreibe dieser Fläche ein möglichst großes, achsenparalleles Rechteck ein.

Die Scharfunktion verwirrt mich ein wenig.
habe versucht, die Aufgabe zu lösen, bin aber nur bis dahin gekommen:

Wenn k= 0 ist, dannn verläuft der Graphen durch den Urspruch im 2. und im 4. Quadranten.
Verändert sich k, wird die Funktion an der y-Achse verschoben.

Um eine Fläche zu bekommen, wobei die Funktion die y-Achse und x-Achse schneidet, müsste k <0 oder >0 sein.
Ist k größer, so befindet sich die Fläche im 1. Quadrant. Ist k kleiner 0, so befindet sich die Fläche im 3. Quadrant.

Ich benene die Seiten des eingeschlossenden Rechtecks a und b. Dann heißt es:

A(a,b)= a*b

so , nun will ich b aus dem Funktionsterm entfernen.

bei Strecke a, müsste b dann f(a) sein, es hieße dann:

b= -6a^2 + k

A(a)= a*( -6a^2 +k)
= -6a^3 + ka

A'(a)= -18a^2 + k
A'(a)= 0 <=> -18a^2 + k=0
a= Wurzel(k/18) oder -Wurzel(k/18)

- Wurzel fällt weg


b= -6a^2 + k
b= -6*(k/18) + k
b=-6k/ 18 + k
b= -k/3 +k
b= 2k/3

A= Wurzel(k/18) * 2k/3


Hmmm was kann ich nun mit so einer Fläche anfangen? Es kommt keine eindetige Zahl raus, oder es ist total falsch.

Was sagt ihr? Ah ja, müsste man auch Definitionsbereich für a bestimmen?

Danke im Vorraus!
Kisska


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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1183
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 13:38:   Beitrag drucken

Liebe(r) Kisska!

Deine Überlegungen zu dieser Aufgabe sind - bis auf Rechenfehler - schon mal sehr gut! k muss tatsächlich ungleich Null sein, soll eine sinnvolle Rechtecksfläche entstehen! Dass im erhaltenen Ergebnis noch das k vorkommt, ist vollkommen normal, du musst dir den Parameter k als im Moment konstante - d.h. für EINE beliebig herausgegriffene Kurve der Schar - fixe Größe vorstellen. Der "Vorteil" bei Scharparametern ist der, dass man sofort für alle Kurven der Schar das Ergebnis interpretieren kann.

Leider hast du offensichtlich einen Rechenfehler gemacht oder die Angabe ist nicht richtig! Weil die Angabe -2x^3 + k lautet, ist b dann auch -2a^3 + k. Daher muss natürlich dann nach der Ableitung eine dritte Wurzel entstehen. Im Prinzip ist aber dein Rechengang richtig!

Es kommt daher:

b = -2a^3 + k

A (Fläche) = A(a) = a*b = -2a^4 + ak
A'(a) = -8a^3 + k

A'(a) = 0

a = 3.Wurzel((k/8))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b = -k/4 + k = (3/4)*k
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Fläche A(k) = (3/4)*k*3.Wurzel((k/8)) = (3/8)*k*3.Wurzel(k)

Die Fläche ist natürlich jetzt von k abhängig. Wenn k = 0 ist, ist auch die Fläche Null, also dann ist kein Rechteck möglich. Prinzipiell gibt es auch für negative k eine Fläche, weil der Funktionsgraph dann im 3. Quadranten verläuft. Er liegt aber symmetrisch zum ersten, sodass das Ergebnis auch dorthin übertragen werden kann.

Nun noch Prüfung auf Maximum mittels der 2. Ableitung:

A''(a) = -24a^2, das ist jedenfalls kleiner Null, also Max.

Ach ja: Voraus kommt von vor-aus, daher bitte nicht mit zwei "r"!

Gr
mYthos


(Beitrag nachträglich am 28., September. 2004 von mythos2002 editiert)
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1184
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 14:12:   Beitrag drucken

Zur Illustration noch eine Grafik, enjoy!
Bild:
Schar-Rechteck(max).gif

Schar-Rechteck(max)
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Kisska (Kisska)
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Benutzername: Kisska

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 16:20:   Beitrag drucken

Hallo lieber Mythos,

vielen lieben Dank für deine Antwort und für deine ausführliche Erklärung! Bist ein Schatz! :-)

Hmm, ich weiß gar nicht wieso ich bei b sowas geschrieben habe, ist doch f(a) und dementsprechend -2a^3 +k

WoW, die Zeichnung ist klasse! Dankeschön! :-)

Super, nun weiß ich, wie solche Aufgaben gelöst werden :-) Hmm, aber wenn man die Lösung und den Graph so betrachtet, kann man sagen - je größer k , umso größer wird die Fläche! oder? es sei denn man hat einen Definitionsbereich.

Hihi, ich weiß schon, woher Voraus kommt :-D Die Taste hat geklemmt :-D Aber danke ;)

liebe Grüße
Kisska (p.s.: bin weiblich ;))





(Beitrag nachträglich am 28., September. 2004 von Kisska editiert)
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 980
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 17:25:   Beitrag drucken

Es stimmt zwar, daß mit wachsendem k auch die Fläche größer wird, aber Du sollst ja auch nur die Maximale Fläche in Abhängigkeit von k angeben. Du brauchst also nur nach x ableiten und Dir um k wenig Gedanken machen.
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Kisska (Kisska)
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Benutzername: Kisska

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 17:39:   Beitrag drucken

Alles klar! Danke! :-)
lg
Kisska
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1185
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 21:49:   Beitrag drucken

Zitat:

... auch nur die Maximale Fläche in Abhängigkeit von k angeben ...


Die max. Fläche wird für ein temporär festgehaltenes k ermittelt, aber nicht in Abhängigkeit von k. Da k konstant ist, hängt das Extremum (die Extremstelle) nur von der Wahl des Punktes auf der Kurve ab, also von a und b.

Natürlich geht k zwar im Wert der Fläche ein, aber eben nur als Konstante.

Gr
mYthos
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 981
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 22:42:   Beitrag drucken

Trotzdem hängt die Größe der Fläche nur von k ab, oder?
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1186
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 00:31:   Beitrag drucken

Die absolute Größe ja, aber nicht das relative Exremum.

Ich weiss aber wohl, was du meinst; dieser Unterschied ist nur graduell, und wir sind eigentlich ohnehin der gleichen Auffassung.

Ich wollte dies festhalten, damit Kisska den Scharparameter k richtig interpretiert und dass das Auftreten des Extremums von dieser Konstante unabhängig ist.

Gr
mYthos
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 982
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 11:04:   Beitrag drucken

Ok, dann sind wir uns einig

Die Fläche hängt von k ab, aber für die Rechnung ist es unerheblichen, da es als Konstante betrachtet wird.

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