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Ölk (Ölk)
Neues Mitglied
Benutzername: Ölk
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 15:57: | 
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Meine Aufgabe lautet:
Für x-> "unendlich" lässt sich folgende exakte Deffinition aufschreiben:
Es sei f auf [a; "unendlich"[ erklärt. Für x-> "unendlich" existiert dann und nur dann der Grenzwert g von f, wenn zu jedem beliebig kleinem "Epsilon" >0 eine Zahl K=K("Epsilon") >0 existier, so dass |f(x)-g| <"Epsilon" ist für jedes x>K.
Zeigen Sie mit Hilfe der "Epsilon" -K("Epsilon")-Definition, dass für die Funktion f mit
F(x)=(x²-1)/(x²+1) und x "Element von"[0; "unendlich"[ lim(x->"unendlich") f(x) = 1 ist.
ich verstehe nicht ganz, wie ich das anhand der Def. (mit dem K) zeigen soll... |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1589
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 16:12: |
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Hallo
Ich würde es so machen:
|F(x)-1|=|(x2-1)/(x2+1)-1|
=|(x2-1)/(x2+1)-(x2+1)/(x2+1)|
=|-2/(x2+1)|=2/(x2+1)<2/x2<e
für x>sqrt(2/e)=:K
MfG
Christian |
Ölk (Ölk)
Neues Mitglied
Benutzername: Ölk
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 16:34: |
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Dank, das sieht vielversprechend aus, aber...
Woher nimmst du denn das 2/x² in 2/(x²+1)<2/x²<e
stellt das nur eine beliebige Zahl zwischen 2/(x²+1) und e da?
Was heißt sqrt?
Was bedeutet =:K ?
Kannst du mir vielleicht noch genauer erklären was mit K=K("Epsilon") >0 (aus der Def.)gemeint ist?
(Sorry, dass ich so unwissend bin, aber ich bin auf dem Weg es zu ändern...) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1590
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 17:05: |
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Hallo
Kein Problem. Ich erklär das alles nochmal genauer.
Zunächst einmal sollte man sich die Definition nochmal genau anschauen und sich überlegen was das eigentlich bedeutet. Du hast eine Funktion f gegeben. Wenn du nun zum jedem e>0, egal wie klein es ist, einen x-Wert findest, ab dem die Funktion nur um weniger als e von einem bestimmten Wert g abweicht, dann ist g der Grenzwert von f für x gegen unendlich. Anschaulich gesprochen heißt das, dass die Funktionswerte von f beliebig nahe an g liegen, wenn nur x groß genug gewählt wird.
Jetzt zu meinem Beweis oben. Wir sollten ja zeigen, dass unser Grenzwert 1 ist. Also ist zu zeigen, dass |F(x)-1| beliebig klein wird, wenn x sehr groß wird.
Also legen wir mal einen beliebigen kleinen Wert e vor. Es ist klar, dass 2/x2<e gilt für x>sqrt(2/e). sqrt steht für square root, also die Wurzel. Nun ist aber |F(x)-1|=2/(x2+1). Der Nenner von 2/(x2+1) ist größer als der von 2/x2, also gilt 2/(x2+1)<2/x2. Wir wissen ja, dass 2/x2<e gilt für x>sqrt(2/e), also gilt erst recht |F(x)-1|=2/(x2+1)<e für x>sqrt(2/e). Und das bedeutet ja, dass die Werte von F beliebig nahe an 1 herankommen, wenn man x groß genug wählt.
Was bedeutet =:K
Einen Doppelpunkt schreibt man immer, wenn man was definieren will. Also in dem Fall definieren wir, dass K gleich sqrt(2/e) ist. Wie du siehst hängt K von e ab, also kannst du auch K(e) schreiben. Und damit haben wir dann die Schreibweise aus der Definition hergestellt. Es gilt dann nämlich
|F(x)-1|<e für x>K(e)
Ich hoffe mal, dass das einigermaßen verständlich war. Wenn nicht, frag einfach nochmal nach.
MfG
Christian |
Ölk (Ölk)
Neues Mitglied
Benutzername: Ölk
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 20:08: |
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Vielen dank noch mal! |
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