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Juli1987 (Juli1987)
Neues Mitglied
Benutzername: Juli1987
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. September, 2004 - 17:50: | 
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ich habe da so ein problem mit einer Matheaufgabe könnt ihr mir bitt helfen?
Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante ein möglichst grosses Volumen bekommen. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2409
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. September, 2004 - 19:17: |
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laut Pythagoras gilt
r²+h² = s²,
somit Volumen V(r) = r²*pi*h/3 =r²*pi*Wurzel(s²-r²)
Da s eine Konstante ist also nur von r abhängig.
Im übrigen darfst Du auch einfach das Quadrat des
Volumens maximieren - dann ist auch das V ein Maximum.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Caballero (Caballero)
Neues Mitglied
Benutzername: Caballero
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. September, 2004 - 19:48: |
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könntet ihr die aufgabe mal vorrechnen plz? habe auch keine ahnung! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1181
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. September, 2004 - 21:06: |
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Hi!
Man kann so vorgehen wie Friedrich, allerdings kann dies hier größere Rechenarbeit sein. Eleganter und weit einfacher ist es, den halben Öffnungswinkel phi = alph/2 als Variable einzuführen. Dann gilt:
sin(phi) = r/s --> r = s*sin(phi)
cos(phi) = h/s --> h = s*cos(phi)
V = r^2*pi*h/3 -->
V = ((s^3)/3) * sin^2(phi) * cos(phi)
Den konstanten Faktor für das Extremum weglassen, -->
f(phi) = sin^2(phi).cos(phi)
f '(phi) = 2sin(phi).cos^2(phi) - sin^3(phi) [Produktregel]
[cos^2(phi) = 1 - sin^2(phi)]
f '(phi) = 2sin(phi) - 3sin^3(phi) --> Null setzen
sin(phi) * (2 - 3 sin^2(phi) = 0
1. sin(phi) = 0 .. keine sinnvolle Lösung
2. sin^2(phi) = 2/3 --> phi = arcsin(sqrt(2/3)) = 54,73561°
Daraus folgen r und h (mit s = 12) und schließlich V.
V direkt: Winkel in Funktion für V einsetzen (denn es ist sin^2(phi) = 2/3, cos^2(phi) = 1/3):
V = ((12^3)/3)* (2/3) * sqrt(1/3)
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Dass ein Maximum vorliegt, zeigt man mit dem Vorzeichen der 2. Ableitung an der Stelle phi = 54,7°
f '(phi) = 2.sin(phi) - 3.sin^3(phi)
f ''(phi) = 2.cos(phi) - 9.sin^2(phi).cos(phi)
f''(phi_extr) = 1,1547 - 3,4641 < 0 Maximum!
Übrigens muss man nicht mit dem Winkel 54,7° direkt rechnen, wir setzen einfacher für cos(phi) = sqrt(1/3) und sin^2(phi) = 2/3:
f ''(phi) = sqrt(1/3)*(2 - 9*(2/3)) =
= sqrt(1/3)*(2 - 9*(2/3)) = -4*sqrt(1/3) < 0
Gr
mythos
(Beitrag nachträglich am 26., September. 2004 von mythos2002 editiert) |
Caballero (Caballero)
Junior Mitglied
Benutzername: Caballero
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. September, 2004 - 21:13: |
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ich will eine simple lösung ohne sinus cosinus oder sonst irgendetwas, PLZ!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1182
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. September, 2004 - 21:46: |
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Horch amal - das ist hier sowieso kein Hausaufgabenservice, es tut mir schon leid, dass ich das hier gerechnet habe! Irgendwas musst du auch machen - und vor allem mal mitdenken! Und irgendeinen Ansatz solltest du ja haben, diesen kannst mal posten und darauf aufbauend, können wir helfen.
Sehr simpel wird es aber dennoch nicht sein! Nur mit den "Grundrechnungsarten" geht's eben nicht!
Entweder die Methode vom Friedrich oder die meine ......
Friedrich's Ansatz etwas modifiziert:
r^2+h^2 = s^2,
somit Volumen V = r^2*pi*h/3
nun für r^2 = s^2 - h^2 setzen, pi/3 weglassen
f(h) = (s^2)*h - h^3
.....
usw.
(Beitrag nachträglich am 26., September. 2004 von mythos2002 editiert) |
Caballero (Caballero)
Junior Mitglied
Benutzername: Caballero
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 14:53: |
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sorry wenn das falsch rüberkam. abgesehen davon bin ich voll die pfeife und wenn dann plötzlich ne monsterrechnung mit sinus und cosinus kommt platzt mein kopf, sorry! |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 16:34: |
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also, Caballero, geht eigentlich ganz einfach:
wie Friedrich schon sagte ist r²+h²=s², also gilt r²+h²= 144 und somit r²=144-h².
Jetzt setzen wir dieses r² in die Volumenformel ein:V= 1/3r²*p*h, das ergibt dann V= 1/3*(144-h²)*p*h, vereinfacht V = p/3*(144h-h³).
Da ist nun nur noch die Variable h drin, also fassen wir es auf als eine Funktion V(h) mit der Funktionsvariablen h. (Wenn dich das h stört kannst du es ja x nennen...)
Um nun das Maximum zu bestimmen leiten wir die Funktion ab: V'(h) = p/3*(144-3h²). Diese Ableitung setzen wir gleich 0 und lösen die quadratische Gleichung: 144-3h²=0 ergibt h=sqrt 48. Die zweite negative Lösung ist irrelevant, denn wir reden ja von Längen. Wenn du nun die Funktion ein zweites Mal ableitest und den Wert sqrt 48 für h einsetzt, ist das Ergebnis negativ, also haben wir tatsächlich ein Maximum. Jetzt setzen wir sqrt 48 in die Pythagorasgleichung von oben ein und bekommen r = sqrt 96. Damit in die Volumenformel ergibt ein maximales Volumen von 128*sqrt 3 * p |
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