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Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 14:26: | 
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Hallo,
könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen:
Ein inhomogenes LGS mit zwei Variablen hat die Lösungen (1;2) und (3;4). Beweisen Sie, dass dann ebenfalls alle Zahlenpaare der Form (1+2t; 2+2t) mit t Element aus R Lösungen sind. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1572
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 15:17: |
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Hallo Omchen
Zunächst einmal eine etwas anschaulichere Lösung. Wenn du Gleichungen in 2 Variablen hast, dann kannst du nach einer auflösen. Dann hast du im Prinzip eine Geradengleichung. Bei einem Gleichungssystem mit 2 Variablen hast du demnach mehrere Geraden. Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten.
1) Sie haben keinen gemeinsamen Punkt(d.h. sie sind parallel und nicht identisch). Dann gibt es keine Lösung
2) Sie haben einen Schnittpunkt. Dann gibt es genau eine Lösung.
3) Die Geraden sind alle identisch und es gibt unendlich viele Lösungen.
Bei dir liegt offenbar Fall 3 vor, weil ja schon mehr als eine Lösung bekannt ist. Also liegen die Lösungen auf der Geraden, die durch die Punkte (1;2) und (3;4) geht. Und das ist ja die Gerade (1+2t;2+2t) mit t aus IR.
Nun ein wenig theoretischer, dafür wird das Ergebnis aber auch allgemeiner.
Wir legen mal ein Gleichungssystem vor:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
.
.
.
an1x1+an2x2+...+annxn=bn
Man nennt die Matrix A=
| a11 | a12 | ... | a1n | | . | | | . | | | . | | | . | | | . | | | . | | | an1 | an2 | ... | ann |
die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems.
Außerdem haben wir noch den Vektor
b=(b1,...,bn)
Mit diesen Bezeichnungen gilt für eine Lösung x des Gleichungssystems
Ax=b
Angenommen unser Gleichungssystem hat 2 verschiedene Lösungen x und y. Sei weiter t eine reelle Zahl. Dann folgt aus der Linearität bei der Matrizenmultiplikation
A(x+t*(y-x))=Ax+tAy-tAx
=b+t*b-t*b=b
Also ist x+t*(y-x) Lösung des Gleichungssystem, Bei dir setze einfach x=(1;2) und y=(3;4), dann folgt wieder die Behauptung.
MfG
Christian |
Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 18:29: |
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Danke, Christian |
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