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Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 393
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 20:37: | 
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Lösen der kubischen Gleichung 3x³ - 12x² + 6x + 4 = 0
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Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit 3 auf die Normalform
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht.
x³ - 4x² + 2x + 1,3333333333333333 = 0
Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.
(y + 1,3333333333333333)³ - 4(y + 1,3333333333333333)² + 2(y + 1,3333333333333333) + 1,3333333333333333 = 0
Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:
p = s - r²/3 = -3,333333333333333
q = 2r³/27 - rs/3 + t = -0,7407407407407407
y³ - 3,333333333333333y - 0,7407407407407407 = 0
Aus der Gleichung liest man also ab:
p = -3,333333333333333 q = -0,7407407407407407
Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.
Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.
Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.
Im Falle dieser Gleichung ist R = -1,2345679012345676.
Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.
cos(w) = 0,316227766016838 u = 1,1712139482105106
y = 1,9280865429985057
1
y = -1,7024165140835046
2
y = -0,22567002891500645
3
Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-4 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:
x = -0,369083180750174
1
x = 1,1076633044183346
2
x = 3,2614198763318396
3
mfG
Tux
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