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hessesche normalform

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Lineare Algebra » Sonstiges » hessesche normalform « Zurück Vor »

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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 388
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 19:13:   Beitrag drucken

hi,
ich möchte mal gerne wissen, wie man eine parametergleichung umformt, damit die hessesche normalform herauskommt? also auch so einen beweis, dann komm ich immer besser mit dem rechnen klar!vllt ein beispiel?
wozu kann man die gebrauchen?

danke detlef
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 389
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 22:57:   Beitrag drucken

Die Hessische Normalform dient der Bestimmung von Abständen...
Eine Möglichkeit der Umformung wäre das Kreuzprodukt der Richungsvektoren -- ist Normalenvektor
Dann nimmste noch einen Punkt der Ebene und machst folgende Gleichung:

(x(Vektor)-(a/b/c)*1/|n|*n(Vektor)

n Vektor ist der Normalenvektor der Ebene
mfG
Tux
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 390
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 23:00:   Beitrag drucken

Falls du noch kein Kreuzprodukt kennst, mach dir ne Parameterfreie Form:
Ax+By+Cz+D=0
Dann ist die Gleichung:
(x(Vektor)-(a/b/c))*1/|n|*n(Vektor)=0
n(Vektor)=(A/B/C)
(a/b/c) ist ein Punkt der Ebene
mfG
Tux
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 389
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 2004 - 15:55:   Beitrag drucken

hmm..was ist x(vektor)? vllt ein beispiel? danke
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 391
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 2004 - 18:47:   Beitrag drucken

x Vektor ist irgendein Punkt im Raum (x/y/z).
(x(Vektor)-(a/b/c))*1/|n|*n(Vektor)=0 -- wenn das Zutrifft, dann ist der Punkt x(Vektor) auf der Ebene -- wenn aber (x(Vektor)-(a/b/c))*1/|n|*n(Vektor)=d, dann ist der Punkt x(Vektor) d Längeneinheiten von der Ebene entfernt.

so berechnet man den Abstand Punkt-Ebene
mfG
Tux
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 392
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 2004 - 18:54:   Beitrag drucken

Beispiel:
du suchst den Abstand des Punktes P(1,2,3) von der Ebene x+2y+z-6=0:
((1,2,3)-(6,0,0))*1/Wurzel(6)(1,2,1)
(Punkt P-Punkt der Ebene)*1/Betrag von n*Normalenvektor
mfG
Tux
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 390
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 07:45:   Beitrag drucken

ok, jetzt habe ich das ausrechnen verstanden, aber wie genau kommt man auf diese formel?hat das was mit der normalengleichung zu tun?

detlef
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 391
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 07:55:   Beitrag drucken

also habe gerade noch entdeckt, dass ich auf die (6,0,0) nicht komme? das soll doch (a,b,c) sein oder?

detlef
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 974
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. September, 2004 - 00:34:   Beitrag drucken

(a,b,c) ist irgendein Punkt der Ebene und (6,0,0) ist einer der einfachsten, die man finden kann. Du kannst genau so gut mit (0,0,6) , (0,3,0) oder auch (1,2,1) rechnen.
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 392
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. September, 2004 - 12:36:   Beitrag drucken

hi,
ich versteh nur noch bahnhof:
Hessesche Normalform:r*n-d=0
r = ortsvektor eines punktes
* = skalarprodukt
n = normierter normalvektor
d = abstand ebene - ursprung

jetzt habe ich den Punkt P (1,2,3) und die Ebene
E:x+2y+z = 6, berechne den abstand von P zu E!

wie geht das jetzt? also der normalenvektor n*=(1/2/1); n = 1/wurzel(6)*(1/2/1)!
und was ist r, also wie berechne ich den ortsvektor?
muss ich d dann rüberbringen und das ist dann der abstand zur ebene?

detlef
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1176
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Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 12:17:   Beitrag drucken

Es haben die anderen schon viel dazu gesagt, also jetzt mal in Kürze:

HNF der Ebene, auf Null gebracht(!)

(x + 2y + z - 6)/sqrt(6) = 0

Nun den Punkt einsetzen -> Es kommt dessen Abstand d! That's it!

d = (1*1 + 2*2 + 1*3)/sqrt(6) = 8/sqrt(6)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos

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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 393
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 14:21:   Beitrag drucken

hmm..ok danke! und wie kann man jetzt noch bestimmen, wo der punkt liegt? also über oder unter der ebene?

detlef
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1177
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 10:51:   Beitrag drucken

Sorry, in meiner vorigen Antwort ist ein Rechenfehler, ich habe die 6 von der Ebenengleichung mitzunehmen vergessen!

Der Abstand des Punktes ist natürlich

d = (1*1 + 2*2 + 1*3 - 6)/sqrt(6) = 2/sqrt(6)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

"Unten" und "oben" sind in der Analytik ein relativer Begriff, es kommt dabei darauf an, von wo man die ganze Anordnung betrachtet.

Der Abstand selbst ist ja ein Absolutbetrag. Dessen Vorzeichen jedoch gibt Auskunft, ob Punkt und Ursprung auf der selben Seite oder auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen.

In der HNF setzen wir zunächst den Nenner (Wurzel) grundsätzlich positiv.

Dann setzen wir den Ursprung in die HNF ein und erhalten

d_0 = (1*1 + 2*2 + 1*3)/sqrt(6) = 8/sqrt(6)

[jetzt stimmen die 8/ ... :-)]

d und d_0 haben nun dasselbe Vorzeichen, also liegen der Punkt P und der Ursprung O auf derselben Seite der Ebene!

Gr
mYthos
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 394
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 15:28:   Beitrag drucken

hmm,
doch nochmal ne frage, wo ist der zusammenhang zwischen r * no = d
r = ortsvektor eines punktes
n0 = n /|n|
und diesem (x + 2y + z - 6)/sqrt(6) = 0 ? ist mir nicht ganz klar!?
detlef
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1178
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 23:00:   Beitrag drucken

Der Zusammenhang ist folgender:

no ist der normierte Normalvektor, hat also die Länge 1. Man bekommt ihn, indem man den Vektor durch seinen Betrag - und der ist im Beispiel sqrt(6) - dividiert

Das Skalarprodukt ist geometrisch das Produkt der Länge des einen Vektors mal der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.

A sei ein beliebiger Punkt auf der Geraden n.X = c, daher gilt n.A = c, und P ist der Punkt, dessen Abstand von der Geraden bestimmt werden soll. r ist NICHT der Ortsvektor eines Punktes (welchen?), sondern der Differenzvektor A - P.

Dann ist der Abstand

d = (P - A)*n0 (= r*no), weil der Betrag von no gleich 1 ist und die Projektion von (P - A) auf diesen eben genau d (vergegenwärtige dir dies bitte an Hand einer Skizze).

d = (P - A)*n/|no| = (P*n - A*n)/no = (P*n - c)/|no|

Wir müssen somit - um die HNF der Geraden zu erhalten, deren Gleichung auf Null bringen und durch den Betrag von no dividieren:

(X*n - c)/|no| = 0 .. HNF

Jetzt sieht man, dass man statt des laufenden Punktes X den Punkt P einzusetzen hat und erhält damit den Abstand d.

d = (P*n - c)/|no|

In der Geradengleichung x + 2y + z = 6 ist n = (1;2;1), sein Betrag |no| = sqrt(6), die HNF (immer auf Null bringen) daher

(x + 2y + z - 6)/sqrt(6) = 0

Nun statt x, y, z die Koordinaten von P(1|2|3) einsetzen --> d

d = 2/sqrt(6) = sqrt(6)/3

Gr
mYthos
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 396
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. September, 2004 - 20:15:   Beitrag drucken

hmm, danke!
aber immer noch nicht klar, wieso ist (P*n - c) = (x + 2y + z - 6)???
wie entsteht das denn?

detlef

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