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Ebene

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Sonstiges » Ebene « Zurück Vor »

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Vena (Vena)
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Junior Mitglied
Benutzername: Vena

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. September, 2004 - 18:44:   Beitrag drucken

hi kann mir bitte einer erklären wie ich diese Aufgaben lösen kann. Ich würde es gerne verstehen.

prüfe, welche lage die Gerade g durch die punkte A und B und die Ebene E durch die Punkte P,Q,R relativ zueinandeer einnehmen. Berechne ggf. den Schnittpunkt.
a) A(2|1|0), B(2|2|0) P(4|1|4) Q(5|1|4) R(4|1|5)
b) (1|4|0), B(2|6|5) P(1|3|5) Q(2|4|7) R(0|3|6)

zeige das die Gerade g und die Ebene E parallel sind. Prüfe, ob die Gerade in der Ebene liegt.
A) g:x= (0|0|-14) +r (1|2|3) , E:x= (5|1|1)+ s (1|-1|3) + t(3|0|9)
B) x= (1|1|1) +r (1|1|1) , E:x= (0|1|1)+ s (0|1|0) + t(1|0|1)

Wär nett wenn mir das jemand erklären könnte.

gruß Vena


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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1174
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 09:24:   Beitrag drucken

Hi,

zu 1.
Bestimme zunächst die Vektoren AB; PQ und PR. Wenn die aus den Komponenten gebildete 3-reihige Determinante ungleich Null ist, gibt es einen Schnittpunkt (denn dann sind die Vektoren linear unabhängig). Ist diese Determinante gleich Null, so ist die Gerade zur Ebene parallel (die Vektoren sind linear abhängig, d.h. sie liegen in einer Ebene).

Im ersten Falle (und auch, falls du nicht mit Determinanten rechnen willst/kannst) bestimme die Gleichungen der Geraden und der Ebene und versuche, den Schnittpunkt zu ermitteln.

AB = (0;1;0); PQ = (1;0;0), PR = (0;0;1)

|0 1 0|
|1 0 0| = -1
|0 0 1|

Es gibt daher einen Schnittpunkt.

Gleichung der Geraden (ihr Richtungsvektor ist AB):
X = (2;1;0) + r*(0,1;0)

Gleichung der Ebene (ihre Richtungsvektoren sind PQ und PR):

X = (4,1;4) + s*(1;0;0) + t*(0;0;1)

Beim Gleichsetzen (zeilenweise für x-, y-, z- Koordinaten) entsteht ein LGS in r, s, t, dessen Lösung den Schnittpunkt liefert.

2 + 0*r = 4 + s + 0*t
1 + r = 1 + 0*s + 0*t
0 + 0*r = 4 + 0*s + t
----------------------
2 = 4 + s
r = 0
0 = 4 + t
------------
s = -2; t = -4

Der Schnittpunkt ist (r in Gerade): S(2|1|0)
zur Kontrolle in Ebene:

xs = 4 - 2 = 2
ys = 1
zs = 4 - 4 = 0

S = S(2|1|0)
°°°°°°°°°°°°

Zu 2.

Die Gleichungen von Gerade und Ebene liegen ja bereits vor, du kannst daher analog zu 1. verfahren!

Gr
mYthos

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