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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. September, 2004 - 14:13: | 
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Hallo
Kann mir jemand bei der folgenden Stochastikaufgabe helfen ?
Sie lautet:
Man ermittle mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff
eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Wurf
von 70 Spielwürfeln das arithmetische Mittel der Augenzahlen
im Intervall [3,4] liegt?
Vielen Dank im Voraus
Miro
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 407
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. September, 2004 - 22:27: |
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Hi,
dein Intervall liegt ja zufällig symm. zum Erwartungswert 3.5, d.h. Tscheb. sagt, dass mit eps=1/2 gilt
P(X ausserhalb [3,4]) <= sigma^2 / eps^2 = 4*sigma^2, also
P(X in [3,4]) >= 1 - 4*sigma^2.
Jetzt musst du nur noch ausrechnen, welche Varianz ein Wurf hat und welche folglich 70 unabhängige davon haben. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4372
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. September, 2004 - 06:38: |
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Hi Miro
Zuerst bestimmen wir für die Zufallsvariable X ,
welche die Augenzahl beim Wurf eines einzelnen
Würfels angibt, den Erwartungswert E und die Varianz v.
X nimmt die Werte 1,2,3,4,5,6 an;
zugehörige Wahrscheinlichkeiten je 1/6.
Erwartungswert E = 1/6 * [1+2+3+4+5+6] = 7/2
Varianz v = 1/6 * [1+4+9+16+25+36] - (7/2) ^ 2 = 35/12
Für die gestellte Aufgabe erhalten wir als
Mittelwert Mü:
Mü = 70 * E = 245
Für die Varianz V = sigma^2 = 70 * 35 /12 ~ 204,17
Die Abweichung vom Mittelwert My soll gemäss der
gestellten Aufgabe pro Wurf höchstens
4 – 3,5 = 0,5 betragen; bei 70 Würfen gilt
a = 70* 0,5 = 35
Damit erhalten wir für den in der Ungleichung von
Tschebyscheff auftretenden Quotienten
T = sigma^2 / a^2 den Wert
T = 204,16.. / 35^2 = 1/6
Wir benötigen als Schlussresultat die Gegenwahrscheinlichkeit
dazu, also
P = 5/6 ~ 83,3 % ; die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist grösser
als dieser P-Wert.
Tatsächlich ist diese untere Grenze wesentlich grösser, wie eine
Berechnung mit der Formel von Laplace und de Moivre zeigt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. September, 2004 - 08:54: |
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Hallo Sotux,hallo Megamath
Vielen Dank für Eure Hilfe !
Mit freundlichen Grüßen
Miro
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