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Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 16:20: | 
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1503
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 17:05: |
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Hallo
Zunächst einmal leiten wir deine Reihe her.
Betrachte die Teleskopsumme
(n+1)3-1=Sn k=1 [(k+1)3-k3]
=Sn k=1 [3k2+3k+1]
=3*Sn k=1 k2 + 3/2*n*(n+1)+n
Das ganze nach Sn k=1 k2 aufgelöst ergibt dein Ergebnis.
Mit oben gezeigtem Verfahren lässt sich offenbar jede Reihe
Sn,r=Sn k=1 kr berechnen mit r als natürlicher Zahl, wenn man alle Sn,s kennt mit s<r, s natürlich.
MfG
Christian |
Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 18:19: |
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Vielen Dank
Auf die "Teleskopsumme" bin ich auch mal gestoßen, als ich
s(n)=1+8+...+n³
s(n+1)=8+...+n³+(n+1)³
s(n+1)-s(n)=(n+1)³-1
berechnete.
Wieso schreibst du dann (n+1)3-1=S(k=1-->n)(k+1)³-k³ ? verstehe das k³ nicht ganz, sowie den letzten Schritt wo du wieder das n ins Spiel bringst. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1504
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 18:33: |
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Hallo nochmal
Zunächst zur ersten Zeile
Wenn wir die Summe ausschreiben steht da
23-13+33-23+43-33+...+(n+1)3-n3
Wie du siehst kürzt sich fast alles weg und es bleibt(n+1)3-1 stehen links vom Gleichheitszeichen.
In der Summe können wir aber ausmultiplizieren und zusammenfassen. Dabei fällt das k^3 weg(das ist der Trick hierbei).
Übrig bleibt die Summe
Sn k=1[3k2+3k+1]
Und die können wir ja auch so schreiben:
=3Sn k=1k2+3Sn k=1k+Sn k=1 1
Was die letzte Summe ergibt ist klar, nämlich n. Und die mittlere ist gerade die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. Dafür kann man die Gaußsche Summenformel verwenden. Man hat
Sn k=1 k = n(n+1)/2
Damit ergibt sich dann wieder die Gleichung von oben, die du einfach nur auflösen musst. Falls du noch fragen hast, meld dich nochmal
MfG
Christian |
Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 18:51: |
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Super
jetzt ist alles klar.
vielen Dank
mfg
Stefan |
Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 74
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 15:25: |
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Nun mal noch ne Frage. Kann man das ganze auch über Integrale finden? Hab nur mal was über das Integralkriterium( oder so) gehört, denke aber das dies für die Kon- bzw. Divergenz genutzt wird? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1509
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 15:37: |
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Hallo
Wir machen mal folgenden Ansatz:
òn-1 n x2+ax+b dx
Und das Integral soll gleich n2 sein. Das wird auch möglich sein, wie man gleich sieht.
Haben wir das nämlich, so gilt
ò0 n x2+ax+b dx = Sn k=1 k2
Wir berechnen also obiges Integral. Man hat nach Einsetzen der Grenzen:
n3/3+a/2*n2+cn-[(n-1)3/3+a/2*(n-1)2+c(n-1)]
Das soll wie schon gesagt gleich n2 sein, also
n3/3+a/2*n2+bn-[(n-1)3/3+a/2*(n-1)2+b(n-1)]=n2
Wie man schnell sieht, fallen die Terme n3 und n2 alle weg. Also haben wir noch 2 Variablen und einen Term der Form cn+d=0, wobei c und d von a und b abhängen. Das lässt sich natürlich lösen und man hat die Werte von a und b und damit
Sn k=1 k2=ò0 n x2+ax+b dx
=1/3*n3+a/2*n2+bn
MfG
Christian
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Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 76
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 16:39: |
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So und nun die Frage, welche der auf den anderen Forum auch nicht beantworten konnte warum der Ansatz x²+ax+b?
Kann ich das analogisieren zu der Summer der Reihe n³ mit den Ansatz x³+ax²+bx+c? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1511
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 17:28: |
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Hallo
Ja, kannst du!
Dann verlangst du, dass das Integral auf dem Intervall
[n-1,n] den Wert n3 annimmt.
Wenn du dir die Herleitung nochmal ganz genau anschaust, siehst du schon was jetzt passiert. Die n4 und die n3 fallen weg!
Dann steht da wieder was in der Form rn2+sn+t=0
Wobei die Variablen alle von a,b und c abhängen. Du musst dann das Gleichungssystem
r=0
s=0
t=0
nach a,b und c auflösen. Du hast 3 Gleichungen und 3 Variablen, also existiert auch eine Lösung.
MfG
Christian |
Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 77
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 17:36: |
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Gilt dies eigentlich nur für Partialsummen der Art n^r mit r€N und r>0, oder kann man damit auch Summen mit r<0 berechnen? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1512
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 17:43: |
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Hallo
Mir r<0 kann man nach diesen Methoden nicht vorgehen.
Es gibt auch meines Wissens nach keine geschlossene Formel, mit der man solche Summen angeben kann.
MfG
Christian |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1513
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 17:50: |
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Hi nochmal
Wenn du willst kannst du dir mal die Seite hier anschauen:
http://www.mathe-seiten.de/bernoulli.pdf
Auf der letzten Seite findest du eine allgemeine Formel für
Sn k=1 kr für natürliches r.
Auch findest du da die Reihen
S¥ k=1 1/k2r
Das sind Werte der sogenannten Zetafunktion.
Die Seite ist leider nicht ganz so einfach zu verstehen, weil man Sachen wie Taylorreihen braucht.
MfG
Christian |
Istormi (Istormi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 18:25: |
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Danke für den Link, werd mal probieren mich da ein bisschen rein zu lesen und zu verstehen.
mfg
Stefan |
