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Das Unendliche

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Sonstiges » Das Unendliche « Zurück Vor »

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Istormi (Istormi)
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Benutzername: Istormi

Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 14:42:   Beitrag drucken

Hallo,

ich wollt mal wissen was unendlicher\mächtiger ist. Die Geraden oder Ungeraden Zahlen? Die Ganzen oder Rationalen Zahlen?

Die zweite Frage ist ja trivial, aber gibt es dann irgend wann eine Menge die alle Mengen vereingt und somit das Unendlichste ist und müsste es dann nicht wieder eine Menge geben die die "Über-Menge" einschließt???

mfg
Stefan
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 856
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 15:04:   Beitrag drucken

sowohl die geraden, als auch die ungeraden Zahlen sowie die rationalen Zahlen sind alle gleichmächtig mit Alpeph0

die reellen Zahlen sind mächtig mit Alpeph1

da findest was zu aleph und Cantor
http://metamath.flatline.de/mpegif/aleph0.html
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 955
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 17:03:   Beitrag drucken

Hallo Stefan,

im unendlichen wird Mächtigkeit über Abbildungen begründet, was ja auch Sinn macht. Denn auch im endlichen sind zwei Mengen genau dann gleichmächtig, wenn es eine bijektive Funktion von der eienn auf die andere gibt.

Daher sind die Menge der geraden und die Menge der ungeraden Zahlen gleichmächtig. (f(x)=x-1 ist offensichtlich bijektiv)

Die Menge der ganzen und die der rationalen Zahlen ist ebenfalls gleichmächtig, auch wenn die Bijektion schwerer anzugeben ist. Man stellt sich hierzu die Menge INxIN vor in der jeder Bruch a/b identifiziert wird über den Punkt (a,b).
Da wir diese Punkte durchzählen können, muss es zumindest eine surjektive Funktion von IN auf Q geben.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 857
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 17:15:   Beitrag drucken

Hihi,

komm grad drauf, des muß Aleph0 bzw. Aleph1 heißen;

Aleph0 = |IN| = |IZ| = |IQ|
Aleph1 = |IR|
Aleph1 := 2^Aleph0


Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1681
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 19:27:   Beitrag drucken

Hallo,
eine "Übermenge" gibt es nicht. Zu jeder Menge gibt es eine, die noch größer/mächtiger ist.

Übrigens ist |IR| = 2^Aleph0. Aber ob 2^Aleph0 = Aleph1, lässt sich weder beweisen noch widerlegen. Also, ob es zwischen IN und IR eine weitere Mächtigkeit gibt. Das ist die so genannte Kontinuumshypothese. Sie kann richtig oder falsch sein.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 858
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 19:36:   Beitrag drucken

wie sieht es mit den Mächtigkeiten folgender Mengen im Vergleich aus

P(IN) := Potenzmenge von IN
P(IQ) := Potenzmenge von IQ
P(IR) := Potenzmenge von IR

Ich hätt Bauchweh, zu sagen

|P(IN)| = |P(IQ)|

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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1682
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 20:41:   Beitrag drucken

Na, wenn du von |IN| = |IQ| überzeugt bist, ist es doch klar, dass |P(IN)| = |P(IQ)| ist. Was bereitet dir daran Bauchschmerzen??
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 859
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 21:20:   Beitrag drucken

na ja

wenn |IR| = 2^Aleph0 ist,

allgemein |P(A)| = 2^|A| gilt,

es doch sehr komisch aussieht:

|P(IN)| = |P(IQ)| = |IR|


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Istormi (Istormi)
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Benutzername: Istormi

Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juli, 2004 - 12:46:   Beitrag drucken

Nun mal noch ne Frage:
Mainziman gab an, dass
"
Aleph0 = |IN| = |IZ| = |IQ|
Aleph1 = |IR|
Aleph1 := 2^Aleph0
"
Nu Frag ich mich wo denn die komplexen Zahlen geblieben sind, bei denen doch die reellen Zahlen eine Teilmenge sind?
Ist dann IC=2^Aleph0^Aleph1??
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1450
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juli, 2004 - 13:47:   Beitrag drucken

Hallo

Die Menge der komplexen Zahlen ist(auch wenn man es vielleicht nicht direkt vermuten würde) gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 860
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juli, 2004 - 13:53:   Beitrag drucken

|IC| = 2^Aleph0^Aleph1 <-- des wär a bissi viel

es gilt: |IC|=|IR|, du schaffst es auch hier eine bijektive Abbildung zu basteln, und zwar am einfachsten über den Betrag und das Argument

x + jy = r*e^(j*phi)
mit tan(phi) = y/x und r = sqrt(x^2 + y^2) bzw.
phi im Intervall [0;2pi[

spezialzuweisung: 0 := 0 + 0j, mit r = 0 und phi = 0

r kann geschrieben werden als a * 10^k mit a aus [0;1[ und k aus IZ
bzw. phi/(2pi) aus [0;1[

a in umgekehrter Reihenfolge als Vorkommastellen, phi/(2pi) als Nachkommastellen; und das dann mit 10^k multipliziert sowie dem Vorzeichen des Realteils ergibt jede beliebige reelle Zahl;

so könnte eine Richtung aussehen; die andere ist komplizierter;

(Beitrag nachträglich am 29., Juli. 2004 von mainziman editiert)
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